Questões de Desigualdades estatísticas (Markov, Tchebycheff, Bernoulli) (Estatística)

Uma partícula está situada na origem de uma reta vertical e se move aos saltos ao longo dessa reta, segundo a seguinte regra probabilística: se ela está a uma distância d da origem, ela tem probabilidade igual a 1/(d+1) de saltar uma unidade para cima, e tem probabilidade igual a d/(d+1) de saltar uma unidade para baixo. Seja X₃ a posição da partícula após três saltos e seja E(X₃) a sua média.

O valor de E(X₃) é igual a:

Considere a realização de um experimento aleatório que consiste em fazer tentativas de Bernoulli, de modo que:
• As tentativas sejam independentes;
• Cada tentativa apresente apenas um de dois resultados possíveis (0: fracasso ou 1: sucesso);
• A probabilidade p de um sucesso em cada tentativa, 0 < p < 1, é constante;
• Y é a variável aleatória que conta o número de tentativas feitas até o primeiro sucesso; e,
• W é a variável aleatória que conta o número de tentativas feitas até o k-ésimo sucesso, sendo k um número natural maior que 1.
Sobre esse experimento, analise as afirmativas a seguir.

I. A variável aleatória Y possui a propriedade de perda de memória.
II. A variável aleatória W possui uma distribuição hipergeométrica.
III. O valor esperado de Y é E(Y) = 1/p .

Está correto o que se afirma em 

Considere uma população formada pelos elementos x₁, ..., x_N, cuja média populacional é representada por A amostra aleatória de tamanho simples n retirada dessa população é denotada por X₁, ..., X_N (com 1 < n < N), tal que a média amostral seja definida por 

em que {a₁, ..., a_N} forma uma sequência de variáveis aleatóriastais que a_i ~ Bernoulli (n/m) e  . Considerando essasinformações, julgue o próximo item.

 é um estimador não viciado da média populacional μ.

Cadeias de Markov implementam modelos estocásticos em estados discretos e tempo discreto. O estado seguinte no tempo n+1, x(n+1), é obtido do estado imediatamente anterior, x(n), e a evolução é governada pela matriz de transição P.



Uma cadeia de Markov construída a partir de uma análise estocástica do mercado financeiro é obtida, a partir da análise das tendências das séries temporais para um determinado benchmark de um país, ou um conjunto qualquer de ativos de renda variável. Considere o diagrama abaixo em termos dos estados “Mercado em alta”, “Mercado em baixa” e “Mercado Estagnado.



Fonte: Adaptada de: https://pt.wikipedia.org/wiki/Cadeias_de_Markov#/media/Fi cheiro:Finance_Markov_chain_example_state_space_- _PT.svg. Em https://pt.wikipedia.org/wiki/Cadeias_de_Markov


Assuma como estados (matrizes linha, aplicados, portanto à esquerda da matriz de transição) [1 0 0] = “Mercado em Alta”; [0 1 0] = “Mercado Estagnado”, e [0 0 1] = “Mercado em Baixa”.

Considere as afirmativas abaixo:

( ) A matriz de transição compatível com este modelo é dada por
( ) A evolução para o estado estacionário é obtida pela análise da matriz resultante do cálculo de 

Assinale a alternativa que classifica as afirmações acima em Verdadeiro (V) ou Falso (F).

Uma cadeia de Markov (Xn)n>0 com estados S = {0, 1, 2} tem a seguinte matriz de transição:

Calcule a P(X₃ = 1|X₁ = 0) e assinale a alternativa correta.