Questões de Estimativa de Máxima Verossimilhança (Estatística)

Considere uma amostra aleatória simples X₁, X₂,..., X_n de uma variável aleatória populacional X com média μ e variância σ² .
Sejam:  
Em relação à estimação de μ e de σ² , avalie se as seguintes afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F).

( )   é estimador não tendencioso de variância uniformemente mínima de μ. ( ) S² é estimador não tendencioso de σ². ( )  é estimador de máxima verossimilhança de μ. ( ) S² é estimador de máxima verossimilhança de σ².

As afirmativas são, respectivamente,

A seguinte amostra aleatória simples foi observada de uma distribuição Bernoulli(p): 

1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1

Nesse caso, a estimativa de máxima verossimilhança de p é igual a

Avalie se as seguintes afirmativas acerca de suficiência estão corretas.

I. Se X₁, X₂, ... X_n é uma amostra aleatória de uma densidade f parametrizada por um parâmetro θ, então uma estatística S é suficiente se e somente se a distribuição condicional de X₁, X₂, ... X_n dado S = s é independente de θ para todo valor s de S.

II. Se X₁, X₂, ... X_n é uma amostra aleatória de uma densidade f parametrizada por um parâmetro θ, uma estatística S = s(X₁, X₂, ... X_n) é suficiente se e somente se a densidade conjunta de X₁, X₂, ... X_n fatora como uma função g(s; θ) não negativa que depende de x₁, x₂, ... x_n apenas por meio de s multiplicada por uma função h(x₁, x₂, ... x_n) não negativa e independente de θ.

III. Um estimador de máxima verossimilhança de um parâmetro θ só depende da amostra por meio de uma estatística suficiente.


Está correto o que se afirma em

Suponha que o tempo X, em dias, até que uma debênture incentivada aumente seu valor de mercado em 30%, seja uma variável aleatória com função de densidade

f(x) = θ² xe ^−θx ; x > 0.

O tempo médio registrado, com base nas observações de uma amostra aleatória simples, foi de 400 dias.
Com base nessa amostra, a estimativa de máxima verossimilhança do parâmetro θ é:

Alexandre recebe a tarefa de treinar um sistema de detecção de fraudes no banco em que trabalha. Para isso, ele testa cinco modelos, M1, M2, M3, M4 e M5, que possuem, respectivamente, 2, 2, 2, 3 e 3 parâmetros. Alexandre realiza uma seleção bayesiana dos modelos, usando o critério de informação bayesiano.
Sabendo que o tamanho da amostra é 200 e que os valores maximizados das funções de verossimilhança dos modelos são 0,3; 0,4; 0,5; 0,3 e 0,5, respectivamente, Alexandre seleciona o modelo:
(se necessário, use ln(2) = 0,7; ln(3) = 1,1 e ln(5) = 1,6)