Os chamados ângulos notáveis (30º, 45º e 60º) recebem essa denominação em razão da sua importância, pois são utilizados constantemente nos cálculos que envolvem as razões trigonométricas de seno, cosseno e tangente.
Para construir a tabela com esse três ângulos, basta seguir os passos descritos na imagem:
Além dos três ângulos notáveis, os ângulos de 0°, 90° e 180° merecem destaque.
Contudo, não existe valores para todos eles dentro das razões trigonométricas, esse é o caso da tangente de 90°.
Antes de conhecer mais sobre ângulos notáveis é necessário revisar alguns conceitos de trigonometria. Acompanhe a explicação abaixo e boa leitura!
Trigonometria
A trigonometria é a área da matemática responsável pelo estudo dos triângulos, com foco, principalmente, no triângulo retângulo – figura formada por um ângulo reto (90°) e dois ângulos agudos (menores que 90°).
Esse tipo de triângulo possui três lados, identificados da seguinte forma:
- Hipotenusa: lado maior e oposto ao ângulo de 90°;
- Cateto adjacente: lado próximo ao ângulo de 90°;
- Cateto oposto: lado contrário ao ângulo de 90°.
As divisões entre as medidas dos dois lados da figura são chamadas de razões trigonométricas:
- Seno (sen) = cateto oposto/hipotenusa;
- Cosseno (Cos) = cateto adjacente/hipotenusa;
- Tangente (Tg) = cateto oposto/cateto adjacente ou seno/cosseno.
As razões trigonométricas podem ser representadas graficamente no círculo trigonométrico. Nele, 1° equivale a 1/360 da circunferência, logo os ângulos notáveis podem ser visualizados em alguns pontos.
Demonstração dos ângulos notáveis
A figura abaixo é um triângulo equilátero, ou seja, todas as medidas dos seus lados são iguais e cada um dos seus ângulos possui 60°. Qual será o valor do cosseno de 30°?
A altura CD do triângulo equivale a bissetriz e mediana, por isso o ângulo DCB = 30° e o lado DB = 1/2. Sabe-se também que a altura CD dá origem a um novo triângulo, CDB, o qual trabalharemos a partir de agora.
Note que o cosseno de 30° será o cosseno do ângulo DCB. Para descobrir esse valor, será necessário calcular a medida de h em função de l, já que, h é o cateto adjacente ao ângulo de 30°.
No cálculo de h usaremos o seno do ângulo DBC, pois o cateto oposto a esse ângulo é h e l é a hipotenusa do triângulo. Por se tratar de um triângulo equilátero, seus ângulos medem 60°, com isso temos:
sen60° = h/l
√3/2 = h/l
h = l√3/2
Agora só precisamos calcular o cosseno de 30°:
cos30° = h/l
cos30° = l√3/2 / l
Para realizar a divisão entre frações, basta conservar a primeira fração e multiplicá-la pelo inverso da segunda:
cos30° = l√3/2 x 1/1
Essa fração ainda pode ser simplificada para:
cos30° = √3/2
O valor encontrado é o mesmo que consta na tabela do início do texto.
Tabela trigonométrica completa
A tabela trigonométrica é uma ferramenta que auxilia em cálculos trigonométricos. Ela é composta pelos valores dos ângulos das razões trigonométricas de seno, cosseno e tangente.
Veja abaixo os valores dos ângulos de 1° a 90°:
Ângulo em graus | Seno | Cosseno | Tangente |
1° | 0,0175 | 0,9998 | 0,0175 |
2° | 0,0349 | 0,9994 | 0,0349 |
3° | 0,0523 | 0,9986 | 0,0524 |
4° | 0,0698 | 0,9976 | 0,0699 |
5° | 0,0872 | 0,9962 | 0,0875 |
6° | 0,4045 | 0,9945 | 0,1051 |
7° | 0,1219 | 0,9925 | 0,1228 |
8° | 0,1392 | 0,9903 | 0,1405 |
9° | 0,1564 | 0,9877 | 0,1584 |
10° | 0,1736 | 0,9848 | 0,1763 |
11° | 0,1908 | 0,9816 | 0,1944 |
12° | 0,2079 | 0,9781 | 0,2126 |
13° | 0,2250 | 0,9744 | 0,2309 |
14° | 0,2419 | 0,9703 | 0,2493 |
15° | 0,2588 | 0,9659 | 0,2679 |
16° | 0,2756 | 0,9613 | 0,2867 |
17° | 0,2924 | 0,9563 | 0,3057 |
18° | 0,3090 | 0,9511 | 0,3249 |
19° | 0,3256 | 0,9455 | 0,3443 |
20° | 0,3420 | 0,9397 | 0,3640 |
21° | 0,3584 | 0,9336 | 0,3839 |
22° | 0,3746 | 0,9272 | 0,4040 |
23° | 0,3907 | 0,9205 | 0,4245 |
24° | 0,4067 | 0,9135 | 0,4452 |
25° | 0,4226 | 0,9063 | 0,4663 |
26° | 0,4384 | 0,8988 | 0,4877 |
27° | 0,4540 | 0,8910 | 0,5095 |
28° | 0,4695 | 0,8829 | 0,5317 |
29° | 0,4848 | 0,8746 | 0,5543 |
30° | 0,5000 | 0,8660 | 0,5774 |
31° | 0,5150 | 0,8572 | 0,6009 |
32° | 0,5299 | 0,8480 | 0,6249 |
33° | 0,5446 | 0,8387 | 0,6494 |
34° | 0,5592 | 0,8290 | 0,6745 |
35° | 0,5736 | 0,8192 | 0,7002 |
36° | 0,5878 | 0,8090 | 0,7265 |
37° | 0,6018 | 0,7986 | 0,7536 |
38° | 0,6157 | 0,7880 | 0,7813 |
39° | 0,6293 | 0,7771 | 0,8098 |
40° | 0,6428 | 0,7660 | 0,8391 |
41° | 0,6561 | 0,7547 | 0,8693 |
42° | 0,6691 | 0,7431 | 0,9004 |
43° | 0,6820 | 0,7314 | 0,9325 |
44° | 0,6947 | 0,7193 | 0,9657 |
45° | 0,7071 | 0,7071 | 1 |
46° | 0,7193 | 0,6947 | 1,0355 |
47° | 0,7314 | 0,6820 | 1,0724 |
48° | 0,7431 | 0,6691 | 1,1106 |
49° | 0,7547 | 0,6561 | 1,1504 |
50° | 0,7660 | 0,6428 | 1,1918 |
51° | 0,7771 | 0,6293 | 1,2349 |
52° | 0,7880 | 0,6157 | 1,2799 |
53° | 0,7986 | 0,6018 | 1,3270 |
54° | 0,8090 | 0,5878 | 1,3764 |
55° | 0,8192 | 0,5736 | 1,4281 |
56° | 0,8290 | 0,5592 | 1,4826 |
57° | 0,8387 | 0,5446 | 1,5399 |
58° | 0,8480 | 0,5299 | 1,6003 |
59° | 0,8572 | 0,5150 | 1,6643 |
60° | 0,8660 | 0,5000 | 1,7321 |
61° | 0,8746 | 0,4848 | 1,8040 |
62° | 0,8829 | 0,4695 | 1,8807 |
63° | 0,8910 | 0,4540 | 1,9626 |
64° | 0,8988 | 0,4384 | 2,0503 |
65° | 0,9063 | 0,4226 | 2,1445 |
66° | 0,9135 | 0,4067 | 2,2460 |
67° | 0,9205 | 0,3907 | 2,3559 |
68° | 0,9272 | 0,3746 | 2,4751 |
69° | 0,9336 | 0,3584 | 2,6051 |
70° | 0,9397 | 0,3420 | 2,7475 |
71° | 0,9455 | 0,3256 | 2,9042 |
72° | 0,9511 | 0,3090 | 3,0777 |
73° | 0,9563 | 0,2924 | 3,2709 |
74° | 0,9613 | 0,2756 | 3,4874 |
75° | 0,9659 | 0,2588 | 3,7321 |
76° | 0,9703 | 0,2419 | 4,0108 |
77° | 0,9744 | 0,2250 | 4,3315 |
78° | 0,9781 | 0,2079 | 4,7046 |
79° | 0,9816 | 0,1908 | 5,1446 |
80° | 0,9848 | 0,1736 | 5,6713 |
81° | 0,9877 | 0,1564 | 6,3138 |
82° | 0,9903 | 0,1392 | 7,1154 |
83° | 0,9925 | 0,1219 | 8,1443 |
84° | 0,9945 | 0,1045 | 9,5144 |
85° | 0,9962 | 0,0872 | 11,4301 |
86° | 0,9976 | 0,0698 | 14,3007 |
87° | 0,9986 | 0,0523 | 19,0811 |
88° | 0,9994 | 0,0349 | 28,6363 |
89° | 0,9998 | 0,0175 | 57,2900 |
90° | 1 | 0 | não existe |