A área da esfera equivale a medida da “casca” desse sólido geométrico, levando em conta o centro O, o raio r e o aglomerado de pontos presentes no espaço no qual a distância em relação ao centro é igual ao raio r.
Quando observamos uma rotação completa da semicircunferência ao redor do seu próprio diâmetro, percebemos que a superfície esférica é fruto desse movimento de rotação. Por tal motivo, a área é dada pela fórmula Ae = 4.π.r² (quatro vezes a área do círculo).
Em que,
Ae: área da esfera
π (Pi): aproximação no valor 3,14
r: raio
Antes de aplicarmos a fórmula da área, é importante relembrarmos o conceito e as característica da esfera.
Definições da Esfera
A esfera é um sólido tridimensional, ou seja, possui volume, comprimento e largura. É o resultado do conjunto de pontos no espaço cuja distância ao centro O (ponto fixo) é menor ou igual ao raio r.
Além de simétrica, engloba os seguintes elementos:
- Polos: pontos nas extremidades do diâmetro esférico.
- Equador: circunferência relacionada à seção perpendicular ao eixo (no centro da esfera).
- Meridiano: equivale a circunferência composta pela intersecção do plano que mantém o eixo de rotação com a superfície.
- Paralelo: circunferência que aparece de forma paralela ao equador.
Partes
A esfera é formada por específicas partes, que são chamadas de fuso, cunha e calota.
Fuso: superfície obtida pela rotação de uma circunferência em torno do eixo esférico entre os ângulos 0 e 2π. Como refere-se ao trecho superficial, pode-se calcular a área através das fórmulas:
Af = π.r².α/90 (α em graus) ou Af = 2.r².α (α em radianos)
Sendo,
Af: área do fuso esférico
π: (número pi): aproximação no valor 3,14
α: ângulo do fuso
Cunha: sólido formado pela rotação de um semicírculo (0° < α ≤ 360°) ao redor do seu eixo. Sendo assim, é possível encontrar o volume e a área:
Vc = π. r³. α°/ 270°
Sendo,
Vc: volume da cunha
π (número pi): aproximação no valor 3,14
r: raio
α: ângulo da cunha
Ac = π. r² + Af
Sendo,
Ac: área da cunha
π (número pi): aproximação no valor 3,14
r: raio da esfera
Af: área do fuso
Calota: trecho que foi cortado pelo plano perpendicular ao eixo de rotação. Para determinar a área e volume usa-se as respectivas fórmulas:
Vcal = π.h² / 3(3r-h)
Sendo,
Vcal: volume da calota
π (número pi): aproximação no valor 3,14
h: altura da calota
Ac = 2.π.r.h
Sendo,
Ac: área da calota
π (número pi): aproximação no valor 3,14
r: raio da esfera
h: altura da calota
Como calcular a área da esfera?
Agora que já sabemos as propriedades da esfera, vamos entender melhor o assunto através dos exemplos a seguir:
Exemplo 1 – Dada uma esfera com raio de 2 cm, qual o valor da sua superfície?
Aplicando a fórmula:
Ae = 4.π.r²
Ae = 4.3,14.2²
Ae = 4. 3,14.4
Ae = 50,24 cm²
Exemplo 2 – Certa esfera apresenta raio igual a 30 cm. Qual seria a diferença entre sua área e a do fuso esférico dessa mesma esfera com ângulo de 90° e considerando π = 3?
O primeiro passo é determinar a área da esfera:
A = 4πr²
A = 4. 3.30²
A = 4.3. 900
A = 10800 cm²
Em seguida, deve-se encontrar a área do fuso esférico:
Af = π.r².α/90
Af = 3. 30².90 /90
Af = 3. 900.90 /90
Af = 243000 /90
Af = 2700 cm²
Por fim, subtrair as duas áreas:
A = 10800 – 2700 = 8100 cm²