A bissetriz é uma semirreta, ou seja, uma linha reta que divide um ângulo em duas partes congruentes (que possui lados iguais). Essa linha tem início no vértice do ângulo, também chamado de origem do ângulo.
Recebe o nome de ângulo a abertura de duas linhas retas que partem do mesmo vértice. Os estudos sobre o tema ganham força com as obras de Euclides de Alexandria, um professor e matemático da Grécia Antiga que uniu na obra Os Elementos os conhecimentos de matemática da época.
É muito comum encontrar os estudos sobre a bissetriz em assuntos de geometria, um ramo da matemática que estuda forma, posição e tamanho de figuras e seus espaços.
Seu nome deriva de “geo”, que quer dizer terra, e “metria”, que significa medida”. A bissetriz é também muito utilizada na medição de triângulos.
Tipos de bissetriz
São encontrados dois tipos de bissetriz. A chamada bissetriz interna, que basicamente é a bissetriz do próprio ângulo. O segundo tipo é a bissetriz externa, que é a bissetriz que divide o ângulo suplementar.
É chamado de ângulo suplementar a soma de dois ângulos que resultam em 180°. É importante ressaltar que a unidade de medida dos ângulos é chamada de radiano, representado pelo símbolo “rad”.
Construção da bissetriz
É possível construir uma bissetriz utilizando instrumentos como a régua e o compasso. Para isso, basta posicionar o compasso na origem do ângulo e traçar uma circunferência entre as semirretas.
Isso vai gerar duas pontas da linha, que serão denominadas de pontos A e B. Em seguida, posicione o compasso no ponto A e repita a construção de uma circunferência respeitando as semirretas originais do ângulo.
Repita o mesmo movimento posicionando o compasso no ponto B. O ponto onde essas duas circunferências se encontram, do lado aberto do ângulo, será denominado de ponto C.
Agora com a régua, trace uma linha reta entre a origem ou vértice do ângulo e o ponto C. O resultado da construção dessa semirreta é a bissetriz do ângulo.
Bissetrizes no triângulo
Existem dois tipos de bissetriz nos triângulos. É chamado de incentro o ponto onde as bissetrizes internas de um triângulo se encontram. Essa medida pode ser encontrada no triângulo equilátero, ou seja, que possuem lados iguais.
Partindo de cada um dos três ângulos, as semirretas se encontram nos lados equidistantes, ou seja, em distâncias iguais.
Nos casos em que duas bissetrizes, que têm origens em vértices diferentes de um triângulo, formam semirretas externas e se juntam com a bissetriz do terceiro ponto de origem, se forma o exicentro.
Assim como o nome já diz, esse encontro acontece fora do triângulo. Vale ressaltar que, além do triângulo equilátero, existem os triângulos isósceles, escalenos, retângulos, obtusângulos e actuângulos.
Operações com o elemento
As operações matemáticas que envolvem a bissetriz são simples de resolver. Como a característica dela é ser uma linha reta que divide o ângulo em dois lados iguais, basta duplicar um dos lados do ângulo em questão.
Por exemplo, em um ângulo de 90° com uma bissetriz. Um dos lados do ângulo é X, enquanto o outro é 45°.
90 = 45 + X
X = 90 – 45
X = 45
Caso o ângulo tenha 180°, a operação acontece da mesma forma.
180 = 90 + X
X = 180 – 90
X = 90
Em casos em que a operação acontece nos ângulos suplementares, que é quando dois ângulos formam um de 180°, existem dois ângulos. Logo, há também duas bissetrizes.
Suponha que a operação de um dos ângulos é X = 30.
60 = 30 + X
X = 60 – 30
X = 30
No lado oposto do ângulo suplementar, a operação é X = 60.
120 = 60 + X
X = 120 – 60
X = 60
Os critérios para as operações com ângulos replementares são semelhantes. É chamado de ângulo replementar quando a soma de dois ângulos resulta em um ângulo de 360°. Por exemplo:
200 = 100 + X
X = 200 – 100
X = 100
No segundo ângulo, que completa o primeiro, a soma segue os mesmos padrões.
180 = 60 + X
X = 180 – 60
X = 60