O círculo trigonométrico (ciclo trigonométrico ou círculo unitário) é uma circunferência com raio de valor 1 e com centro no plano cartesiano. É usado para representar ângulos e cada ponto da circunferência está relacionado a um dos números reais.
Na subdivisão da trigonometria, o assunto permite encontrar o seno e cosseno dos ângulos e é base para entender as funções trigonométricas.
Comprimento do círculo trigonométrico
Cada parte da circunferência se associa a um número real expresso em função de π e cada um dos pontos está relacionado com um ângulo. O raio do círculo, por sua vez, tem valor 1 e o comprimento é igual a 2π.
Então, para calcular o comprimento será necessário multiplicar 2π vezes o raio.
Desta forma:
C = 2πr
C = 2π·1
C = 2π
Quadrantes dos círculos trigonométricos
O ciclo trigonométrico é dividido em quatro partes iguais, denominadas quadrantes. Ou seja: 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes. Estes, por sua vez, são apresentados no sentido anti-horário e recortados pelos pontos cartesianos X e Y. O centro fica localizado no ponto central do plano cartesiano (0,0) e apresenta raio no valor de 1.
A figura abaixo apresenta os quadrantes do círculo trigonométrico:
Agora que sabemos que uma volta completa no círculo (360°) tem medida 2π, podemos calcular o valor de ¼ de volta (90°). Ou seja:
2π / 4 ⇒ π / 2
Sendo assim é possível encontrar o comprimento dos outros quadrantes:
• O 1º quadrante (90º): π/2;
• O 2º quadrante (180°): π;
• O 3º quadrante (270°): 3π/2;
• O 4º quadrante (360°): 2π.
Medida do círculo trigonométrico em Graus
O círculo trigonométrico pode ser repartido em 360 partes iguais. Cada uma das partes, então, terá 1° e a volta completa no círculo trigonométrico corresponderá a 360°.
Os principais ângulos ficam localizados no primeiro quadrante e são os de 30º, 45º, 60º. Cada quadrante está conectado com um grau e número real específico.
• Quadrante 1: apresenta os ângulos até 90° e os números reais de 0 até π/2;
• Quadrante 2: ângulos entre 90° e 180° e números reais que vão de π/2;
• Quadrante 3: ângulos entre 180° e 270° e números reais que vão de π até 3π/2;
• Quadrante 4: ângulos entre 270° e 360° e números reais que vão de 3π/2 até 2π.
Os ângulos e raios dos círculos trigonométricos estão representados na figura abaixo:
Medida em radianos
Medida do arco de uma circunferência, o radiano (1 rad) tem valor igual a medida de um arco com valor de r (raio).
Os arcos das circunferências terão, então, medida igual a um radiano. Desta forma é possível converter as unidades pela regra de três:
Arcos congruentes
Os arcos côngruos (ou congruentes) são dois arcos situados em um mesmo ponto sobre uma circunferência e que se distinguem pela quantidade de voltas.
São congruentes os arcos AB e MN apresentados na figura abaixo:
Um deslocamento de 45° foi realizado do ponto A até B. Posteriormente, um movimento de M até N de 360º mais 45°. Ou seja:
360º + 45º = 405°
Expressões relacionadas
Assim, é possível conhecer o número de voltas a partir das expressões:
Com medida em graus:
α + k.360º para k ∈ Z
Onde,
α = ângulo inicial;
k = número de voltas.
Com medida em radianos:
α + 2k. π para k ∈ Z
Razão seno e cosseno
O seno e cosseno de um ângulo podem ser calculados por meio do círculo trigonométrico. Veja:
Os pontos QP e OQ são paralelos aos pontos OR e RP, dando origem a um retângulo. A medida de PR será igual ao senθ, já que:
Senθ = PR/OP = b1/1 = b1
Os principais pontos do seno são:
• sen0° = 0;
• sen90° = 1;
• sen180° = 0;
• sen270° = – 1
Por sua vez, o cosseno (cosθ) é igual a medida de OR = a. Ou seja:
cosθ = AD/AC = a/1 = a
Principais pontos do cosseno:
• cos0° = 1;
• cos90° = 0;
• cos 180° = – 1;
• cos 270° = 0
Com isso, é possível entender que as medidas do seno e cosseno são iguais aos valores do cateto oposto e adjacente.
Trigonometria
A trigonometria é uma área de estudos dentro da matemática, onde se estudam os lados de um triângulo. Além da matemática, a área pode ser vista em estudos de física, astronomia, engenharia, geografia, entre outras.
O nome da área vem da palavra grega “trigonon”, que significa “triângulo”, e “metron”, que quer dizer medida”.
Nos estudos do círculo trigonométrico, essa área de estudo é a responsável por encontrar os valores dos ângulos que existem dentro do círculo, além do seno e do cosseno.