O termo cosseno tem origem na metade do século XVII e foi elaborado por europeus que escreviam em latim. Antes da denominação que recebe hoje, o cosseno era intitulado como apenas um complemento do seno.
Além do seno e tangente, o cosseno é uma das funções angulares que fazem parte do estudo matemático de trigonometria.
As funções trigonométricas
Antes de abordarmos os cálculos e os conceitos do cosseno é fundamental relembrar a definição da trigonometria e do triângulo retângulo.
A trigonometria é um dos ramos de estudo da matemática que tem como objetivo estudar as relações entre as medidas dos ângulos e dos segmentos. A palavra vem do grego “trigono” (triangular) e “metria” (medida).
O objetivo consiste em resolver cálculos das medidas dos lados ou dos ângulos do triângulo retângulo (forma geométrica com ângulo de 90°). As funções trigonométricas do triângulo são denominadas como: seno, cosseno e tangente.
Veja as seguintes definições de cada um:
O seno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida da hipotenusa.
O cosseno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa.
A tangente de um ângulo é a razão do cateto oposto e a medida do cateto adjacente.
O triângulo retângulo
O triângulo retângulo é uma forma geométrica plana considerada por matemáticos como um dos mais importantes dentro das figuras bidimensionais. Ele possui as seguintes composições:
Hipotenusa: o maior lado de um triângulo. Fica oposto ao ângulo reto.
Catetos: são os dois outros lados perpendiculares entre si.
Considere a seguinte imagem abaixo:
Ao considerar o triângulo retângulo ABC, observe que:
- BA é a hipotenusa
- AC e CB são os catetos
O teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras é assim chamado em homenagem ao matemático e filósofo Pitágoras de Samos (570 a.C. – 495 a.C.). Foi ele quem desenvolveu a teoria que aborda a relação entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo.
A teoria é definida da seguinte forma:
“O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”.
Portanto, chegou-se na seguinte fórmula matemática:
a²=b²+c²
Obs.: o teorema de Pitágoras pode ser aplicado em qualquer triângulo retângulo.
Cosseno: definição
Como já vimos, o cosseno pode ser definido como uma função trigonométrica cujo ângulo corresponde ao cateto adjacente sobre a hipotenusa. Portanto recebe a seguinte forma de representação:
Tabela do cosseno
O grego Hiparco de Niceia, por volta do ano de 140 a.C, relacionou os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. Considerado como um dos maiores astrônomos do mundo, ele foi o responsável em desenvolver a tabela de valores trigonométricos dos ângulos de 0° a 90°.
Confira abaixo os valores dos ângulos notáveis (30°, 45° e 60°).
Função cosseno
O cosseno é positivo no 1º e 4º quadrantes e, por sua vez, no 2º e 3º quadrantes correspondem aos valores negativos.
Obs.: Vale lembrar que no primeiro e segundo quadrante a função f é decrescente e, no terceiro e quarto quadrantes, a função f é crescente.
Tem-se portanto:
Domínio da função cosseno corresponde ao conjunto dos números reais. A imagem por sua vez, corresponde ao intervalo real [-1,1] ou -1 ≤ cos x ≤ 1. O período é o mesmo que a função do seno, ou seja: cosseno é:
Valores notáveis do cosseno
Veja abaixo a tabela correspondente aos valores notáveis do cosseno.
Gráfico da função cosseno
O gráfico da função cosseno é chamado de cossenoide. Veja abaixo a seguinte representação:
Por meio da lei dos cossenos é possível resolver questões trigonométricas quando não trata-se de um triângulo retângulo (que possui ângulo de 90°). Portanto, usa-se essa lei para resolver cálculos de um triângulo qualquer.
a² = b² + c² – 2ab CosA
b² = a² + c² – 2ac CosB
c² = a² + b² – 2ac CosC
Tabela da razão Trigonométrica
| Grau (°) | Seno | Cosseno | Tangente |
| 1 | 0,0175 | 0,9998 | 0,0175 |
| 2 | 0,0349 | 0,9994 | 0,0349 |
| 3 | 0,0523 | 0,9986 | 0,0524 |
| 4 | 0,0698 | 0,9976 | 0,0699 |
| 5 | 0,0872 | 0,9962 | 0,0875 |
| 6 | 0,1045 | 0,9945 | 0,1051 |
| 7 | 0,1219 | 0,9925 | 0,1228 |
| 8 | 0,1392 | 0,9903 | 0,1405 |
| 9 | 0,1564 | 0,9877 | 0,1584 |
| 10 | 0,1736 | 0,9848 | 0,1763 |
| 11 | 0,1908 | 0,9816 | 0,1944 |
| 12 | 0,2079 | 0,9781 | 0,2126 |
| 13 | 0,2250 | 0,9744 | 0,2309 |
| 14 | 0,2419 | 0,9703 | 0,2493 |
| 15 | 0,2588 | 0,9659 | 0,2679 |
| 16 | 0,2756 | 0,9613 | 0,2867 |
| 17 | 0,2924 | 0,9563 | 0,3057 |
| 18 | 0,3090 | 0,9511 | 0,3249 |
| 19 | 0,3256 | 0,9455 | 0,3443 |
| 20 | 0,3420 | 0,9397 | 0,3640 |
| 21 | 0,3584 | 0,9336 | 0,3839 |
| 22 | 0,3746 | 0,9272 | 0,404026 |
| 23 | 0,3907 | 0,9205 | 0,4245 |
| 24 | 0,4067 | 0,9135 | 0,4452 |
| 25 | 0, 4226 | 0,9063 | 0,4663 |
| 26 | 0,4384 | 0,8988 | 0,4877 |
| 27 | 0,4540 | 0,8910 | 0,5095 |
| 28 | 0,4695 | 0,8829 | 0,5317 |
| 29 | 0,4848 | 0,8746 | 0,5543 |
| 30 | 0,5000 | 0,8660 | 0,5774 |
| 31 | 0,5150 | 0,8572 | 0,6009 |
| 32 | 0,5299 | 0,8480 | 0,6249 |
| 33 | 0,5446 | 0,8387 | 0,6494 |
| 34 | 0,5592 | 0,8290 | 0,6745 |
| 35 | 0,5736 | 0,8192 | 0,7002 |
| 36 | 0,5878 | 0,8090 | 0,7265 |
| 37 | 0,6018 | 0,7986 | 0,7536 |
| 38 | 0,6157 | 0,7880 | 0,7813 |
| 39 | 0,6293 | 0,7771 | 0,8098 |
| 40 | 0,6428 | 0,7660 | 0,8391 |
| 41 | 0,6561 | 0,7547 | 0,8693 |
| 42 | 0,6691 | 0,7431 | 0,9004 |
| 43 | 0,6820 | 0,7314 | 0,9325 |
| 44 | 0,6947 | 0,7193 | 0,9657 |
| 45 | 0,7071 | 0,7071 | 1,0000 |
De olho na prova
A trigonometria é um assunto recorrente nos vestibulares e no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem). Por isso é importante que o candidato esteja atento a todo o conteúdo, além de realizar exercícios e revisões para fixar o assunto.
Para obter um bom resultado na prova de matemática é necessário revisar o teorema de Pitágoras que está ligado com o comprimento dos lados do triângulo retângulo. Esse tema não é só evidente na trigonometria, mas também na geometria plana, espacial e analítica, assuntos também recorrestes nos exames.
Outro fator importante é revisar os conceitos do triângulo retângulo e sua composição (hipotenusa e os catetos). É indispensável ainda realizar exercícios que abordam os ângulos notáveis (30°, 45° e 90°) e as leis do seno e cosseno. Resolva também provas dos anos anteriores.
Confira aqui exercícios sobre a lei do cosseno:
As funcionalidades da trigonometria
Para que serve a trigonometria? Essa pode ser uma das indagações de quem estuda assuntos sobre o cosseno ou toda a área da trigonometria. Por isso, é importante entender a aplicabilidade do assunto.
O estudo da trigonometria não está relacionado apenas ao ensino da matemática. Mas é aplicado em vários seguimentos na atualidade. Como, por exemplo: ramos da engenharia, astronomia, geografia, química, física, biologia, dentre outros.
É também utilizado nos estudos voltados para as funções periódicas, sendo eles: ondas sonoras e luminosas, pois usa-se cálculos das funções trigonométricas seno e cosseno. Já na astronomia são desenvolvidas aplicações de trigonometria para estimar a distância de corpos celestes como as estrelas.
No âmbito da engenharia, por sua vez, para obter-se o cálculo da altura de um prédio, usa-se a função seno. Esse cálculo também serve para conseguir a altura de uma árvore, um poste, dentre outros. Veja abaixo outras áreas que a trigonometria é aplicada:
- Economia
- Engenharia elétrica
- Engenharia mecânica
- Engenharia civil
- Geografia
- Cartografia
- Cristalografia
- Meteorologia
- Oceanografia
- Navegação
- Sismologia (estudo dos abalos físicos, ou seja, terremotos)
- Farmácia
- Biologia
- Medicina (Ultrassom e tomografia)
- Química
- Geodésia
- Teoria do números (Criptologia)
- Computação gráfica
- Arquitetura
- Topografia (estudo da forma dos relevos)