O cubo é um sólido geométrico que possui três dimensões: comprimento ou profundidade, largura e altura. Tal sólido ainda é considerado um poliedro regular – pois suas faces formam polígonos regulares e congruentes.
O cubo, juntamente com tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro formam o grupo seleto dos “Sólidos de Platão”. As figuras que compõem esse grupo obedecem as seguintes regras:
- Todas as faces da figura devem ter a mesma quantidade de arestas;
- Todos os vértices da figura devem ser formados pela mesma quantidade de arestas;
- As figuras satisfazem a Relação de Euler V – A + F = 2, em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.
A Relação de Euler é aplicada a todos poliedros convexos e para alguns poucos tipos de não convexos. Deste modo, podemos dizer que todo poliedro convexo é Euleriano (que obedece à Relação de Euler), mas nem todo poliedro Euleriano é convexo.
Mas como identificar um poliedro convexo? Uma figura recebe desse denominação quando o plano que contém cada face deixa todas as outras em um mesmo semiespaço.
Aplicação
Para visualizar a Relação de Euler com um Sólido de Platão, vamos tomar como exemplo o cubo. Em uma rápida observação podemos perceber que tal figura possui seis faces: um quadrado na parte superior, um quadrado na parte inferior e quatro quadrados laterais.
As divisas destes quadrados formam as arestas, 12 ao total: quatro na face de cima, quatro na de baixo, e quatro arestas verticais nas faces verticais. Os quatro cantos superiores e os quatro cantos inferiores correspondem aos oito vértices da figura.
Se substituirmos esses números, a Relação de Euler confirma-se:
V – A + F = 2
8 – 12 + 6 = 2
2 = 2
Planificações
A planificação das figuras geométricas espaciais nada mais é que a apresentação de todas as formas que constituem a superfície da figura em um plano, ou seja, em duas dimensões.
O cubo possui onze tipos diferentes de planificações. Confira abaixo:
Fórmulas
Área total
Corresponde a quantidade de espaço de superfície necessária para o cubo. Como essa figura possui seis faces, a fórmula utilizada para esse cálculo é:
At = 6a²
Onde,
At: área total
a: aresta
Área lateral
Corresponde a soma das áreas dos quatro quadrados que formam a figura. A fórmula utilizada é:
Al = 4ª²
Onde,
Al: área lateral
a: aresta
Área da base
O cubo é um prisma com duas bases iguais, deste modo é necessário calcular apenas uma:
Ab = a²
Onde,
Ab: área da base
a: aresta
Volume
Corresponde ao espaço ocupado por determinado objeto, presentado pela fórmula:
V = a³
Onde,
V: volume
a: aresta
Diagonais
São segmentos de reta entre dois vértices, a fórmula utilizada para o cálculo é:
Diagonal: d = a√3
Diagonal Lateral: d = a√2
O cubo mágico
O cubo mágico é um quebra-cabeça tridimensional, inventado pelo húngaro Ernő Rubik, em 1974, com objetivo de ilustrar os conceitos de geometria aos seu alunos do curso de arquitetura. A versão 3x3x3 é a mais popular, mas o jogo também existe nos modelos 2x2x2, 4x4x4 e 5x5x5.
Também chamado de Cubo de Rubik, em referência ao seu criador, o cubo mágico possui seis faces. Cada uma das faces está dividida em nove partes, 3×3, somando 26 peças ao total.
Sabe-se que ao permutar as doze arestas do cubo, logo vão existir 12! combinações. Bem como se permutar os oito vértices da figura existirão 8! combinações. Contudo, só metade das possibilidades são reais, afinal não dá para virar duas arestas sem trocar a posição de dois vértices.
É possível também girar todos os vértices do cubo, exceto um, sem que nada altere-o. Deste modo, existem 37 orientações distintas para o vértice e 211 para as arestas, já que as orientações são as mesmas.
Levando em conta essas informações, o número de combinações possíveis para o cubo mágico é:
Isso mesmo! Existem 43 quintilhões de combinações diferentes, o que levaria 400 trilhões de anos se alguém realizasse todas as combinações possíveis com a velocidade de um movimento por segundo.