As equações da reta podem ser apresentadas de várias formas. Neste texto iremos estudar quatro modelos básicos: equação fundamental, equação geral, equação reduzida e equação segmentária.
Mas antes de dar continuidade ao assunto é necessário conhecer a reta.
O que é uma reta?
Na matemática, as retas correspondem ao conjunto infinito de pontos e com tamanho também infinito. Elas obedecem a quatro características elementares:
- As retas são linhas infinitas;
- As retas são unidimensionais (possuem apenas uma dimensão);
- Em uma reta existem infinitos pontos;
- As retas podem estar dispostas em três posições: horizontal, vertical e inclinada.
Existem também quatro postulados relativos às retas:
- Postulado da existência: numa reta, bem como fora dela, existem vários pontos;
- Postulado de determinação: dados dois pontos distintos do espaço, existe apenas uma reta que os contém;
- Postulado da inclusão: se uma reta tem dois ou mais de seus pontos num plano, ela está contida no plano;
Dentro do sistema de coordenadas do plano cartesiano (x, y) há uma equação do primeiro grau relacionada à reta, denominada de equação da reta.
Tipos de equações da reta
Equação fundamental da reta
Uma noção geral aplica-se a todas as equações da reta, por isso chamada de equação fundamental, que pode ser visualizada a partir da explicação abaixo:
Dada a reta no plano cartesiano (xy) – não perpendicular ao eixo x -, é conhecido o ponto A (Ax e Ay), coeficiente angular (m) e ponto genérico P (x, y). A obtenção da equação fundamental se dá a partir do cálculo abaixo, de modo que P ≠ A.
Equação geral da reta (r):
ou
y – A = m (x – A)
Equação geral da reta
É possível obter a equação geral da reta (r) com conhecimento dos pontos A (xA, yA) e B (xB, yB) e o ponto genérico P (x, y) para fins de alinhamento.
Sabendo que a, b e c são números reais e a e b ≠ 0.
Para visualizarmos a aplicação dessa expressão, iremos determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos A (1,3) e B (2,4) através da matriz:
O primeiro para o cálculo de uma matriz 3×3 é repetir as duas primeiras colunas à direita:
O segundo passo é identificar as diagonais principais (vermelho) e as diagonais secundárias (azul):
O terceiro e último passo, consiste na multiplicação das diagonais e soma dos resultados, sendo que as principais receberão o sinal positivo e as secundárias receberão o sinal negativo:
Calculada a equação com base na matriz, agora é necessário verificar se os pontos P (-3, -1) e Q (1, 2) de fato pertencem à reta (r), a partir da substituição das coordenadas de P em x – y + 2 = 0.
ax + by + c = 0
-3 – (-1) + 2 = 0
-3 + 1 + 2 = 0
Como o resultado da igualdade é verdadeira, então o ponto P pertence a reta (r)
Agora substituindo as coordenadas do ponto Q em que x – y + 2 = 0, obtemos:
ax + by + c = 0
1 – 2 + 2 ≠ 0
Como a igualdade não é verdadeira, então Q ∉ r
Equação reduzida da reta
Dada a reta (r) que passa pelo ponto Q (0, q) e tem coeficiente angular = tg(α), a sua equação reduzida é representada por:
y = mx + n
Onde, m é o coeficiente angular e n o coeficiente linear.
A equação reduzida também pode ser obtida por meio da equação geral:
A aplicação dessa expressão pode ser visualizada a partir da construção da equação da reta reduzida que possui os pontos P (2, 7) e Q (-1,-5):
y = mx + n
Quando P (2,7):
7 = m2 + c
7 = 2m + c
2m + c = 7
Quando Q (-1, -5):
-5 = m (-1) + c
-5 = -m + c
-m + c = -5
Equação segmentária da reta
Considerando a reta , não paralela aos eixos do cartesianos e com pontos Q (0, q) e P (p, 0). A sua equação segmentária pode ser escrita da seguinte forma:
Ao dividir essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta (r):
Para aplicação desse tipo de equação, vamos observar a reta que passa pelo ponto P (3, 0) e Q (0, 2), conforme o gráfico:
Resumo sobre equações da reta
Uma equação da reta é representada de diversas formas. Existem quatro modelos que foram abordados neste artigo, sendo eles: equação fundamental, equação geral, equação reduzida e equação segmentária.