As fórmulas trigonométricas são baseadas na composição do triângulo retângulo – figura plana formada por uma ângulo reto (90°) e dois agudos (menores que 90°).
Esse tipo de triângulo apresenta três lados que funcionam de acordo com a posição do ângulo reto. São eles:
- Hipotenusa: maior lado do triângulo e oposto ao ângulo reto.
- Catetos: partes que compõem o ângulo de referência (90°). Se o lado estiver perto do ângulo reto é chamado de adjacente; já se estiver em sentindo contrário, é nomeado de oposto.
As razões trigonométricas
As razões ou relações trigonométricas estudam as ligações entre os lados e ângulos do triângulo retângulo, que funcionam das seguintes maneiras:
- Seno: razão entre os lados que formam um dos ângulos agudos.
- Cosseno: razão entre o valor do cateto adjacente e a medida da hipotenusa.
- Tangente: razão entre o seno e o cosseno de um dado ângulo ou entre os catetos.
Essas razões, através do Teorema de Pitágoras, dão origem a fórmula fundamental da trigonometria, ou seja:
sen²(a) + cos²(a) = 1 ou (sen a + cos a)² = 1
A fórmula deduz que o quadrado de um número negativo é igual ao quadrado do seu simétrico ou a soma dos quadrados do seno e do cosseno de um ângulo vale 1:
Ao dividirmos os componentes da relação fundamental pelo sen²(a) encontraremos a chamada fórmula secundária:
sen²(a) / sen²(a) + cos²(a) / sen²(a) = 1 / sen²(a) ou 1 + cot² (a) = csc²(a)
Caso a divisão seja feita com os elementos da relação fundamental e o cos²(a) , a conclusão é que sen²a – tag²a = 1
Fórmulas trigonométricas: soma e diferença de arcos
Conhecendo-se as razões trigonométricas de dois arcos, um de medida alfa e outro beta, é possível determinar as fórmulas de soma e diferença.
Fique atento! Não existe a soma ou subtração das relações trigonométricas de forma separada. O mesmo acontece para a adição e/ou subtração do cosseno e tangente.
O seno da soma e da diferença entre os arcos é dado por:
sen(a + b) = sen(a) . cos(b) + sen(a). cos(b)
sen(a – b) = sen(a) . cos(b) – sen(a). cos(b)
O cosseno da soma e da diferença entre os arcos é dado por:
cos(a + b) = cos(a). cos(b) – sen(a). sen(b)
cos(a – b) = cos(a). cos(b) + sen(a). sen(b)
Como a tangente é a razão entre o seno e o cosseno, sua fórmula é:
tg(a+b) = sen(a) . cos(b) + sen(a). cos(b) / cos(a). cos(b) – sen(a). sen(b)
tg(a+b) = tg(a) + tg(b) / 1 – tg(a) . tg(b)
tg(a-b) = tg(a) – tg(b) / 1 + tg(a) . tg(b)
Arco duplo (2a)
O arco configura-se como duplo quando pertence ao círculo trigonométrico. Logo, os cálculos de seno, cosseno e tangente, a partir do arco a, deve ser feito pela substituição dos valores de b em a (a = b), ou seja:
sen(2a) = 2. sen(a) . cos(a)
cos(2a) = cos²(a) – sen²(a)
tg(2a) = 2. tg(a) / 1 – tg²(a)
Multiplicação
A multiplicação dos arcos com sen(2a), cos(2a) e tg(2a) é chamada de transformação trigonométrica. Confira a seguir as operações em cada situação:
Seno
Supondo que a e b sejam ângulos, o cálculo para encontrar o sen(2a) é:
sen(a + b) = sen(a)·cos(b) + sen(b)·cos(a)
Caso b = a, logo a+ b = 2a
Substituindo:
sen(2a) = sen(a) . cos(a) + sen(a) . cos(a)
sen(2a) = 2.sen(a) . cos(a)
Reparem que essa fórmula é a mesma da soma do seno do arco duplo. Então, a aplicação das duas servem para os mesmos propósitos.
Cosseno
Neste caso, existem duas operações para encontrar o cos(2a). São elas:
sen2(a) = 1 – cos(2a)
cos(2a) = 1 – 2. sen(2a)
Tangente
Os ângulos para os cálculos da tangente de um arco duplo devem ser diferentes de 90°. Por isso, a fórmula baseia-se em:
tg(a+b) = tg(a) + tg(b) / 1 – tg(a) . tg(b)
Com a = b, teremos:
tg(2a) = 2. tg(a) / 1 – tg²(a)