Fração geratriz é a fração que resulta em uma dízima periódica, ou seja, quando dividimos seu numerador pelo denominador o resultado é um número decimal periódico.
A fração geratriz pertence ao conjunto dos números racionais, que são aqueles originados a partir de uma divisão. Lembrando que toda divisão pode ser escrita na forma de uma fração desde que seu denominador seja diferente de 0 (zero).
Logo, esses números racionais podem ser classificados de acordo com três situações:
- Divisão exata: o resto da divisão é igual a zero e o quociente é um número inteiro. Exemplo: 8/4 = 2
- Decimais finitos: o quociente da divisão é um número que possui vírgula e uma quantidade finita de números após ela, chamadas de casas decimais. Exemplo: 5/4 = 1,25
- Decimais infinitos (dízimas periódicas): o quociente da divisão é um número que também possui vírgula, mas com quantidade infinita de números após ela que se repetem. Exemplo: 2/99 = 0,21212121…
Estas últimas, as dízimas periódicas, são muito importantes para saber como calcular uma função geratriz. Que tal conhecer mais sobre esse assunto? Acompanhe a explicação abaixo e boa leitura!
Dízimas periódicas
Uma dízima periódica é formada de três elementos: parte inteira, anteperíodo e período. A parte inteira é aquela que antecede as casas decimais (antes da vírgula); o período é a parte que se repete infinitamente.
Já o anteperíodo corresponde a parte do número que está após o começo das casas decimais, ou seja, após a vírgula, e vai até o início do período. Por exemplo, na dízima 45,76555…, o 45 é a parte inteira, 76 o anteperíodo e 5 o período.
Perceba também que as dízimas periódicas possuem reticências (...) ao final do número ou, ainda, um traço sobre a parte que repete, o período.
As dízimas periódicas ainda podem ser classificadas em dois tipos: 1) simples, pois o período apresenta-se logo após a vírgula (não possuem anteperíodo) e 2) compostas, entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.
Exemplo:
- 0,111… período igual a 1 (dízima simples);
- 0,45222… anteperíodo igual a 45 e período igual a 2 (dízima composta).
Como calcular uma fração geratriz
Como já dito, as dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos números racionais. Logo, todas elas possuem uma fração que, quando dividimos o numerador pelo denominador, encontramos exatamente essa dízima.
Desta forma, é fundamental saber como encontrar a fração que origina cada dízima e, posteriormente, realizar operações matemáticas com ela. Algumas etapas devem ser seguidas para calcular a fração geratriz. Confira abaixo:
- Igualar a dízima periódica a uma incógnita como x, na forma de uma equação do primeiro grau;
- Multiplicar os dois lados da equação por um múltiplo 10, de acordo com o número de casas decimais.
- Reduzir a equação encontrada da equação inicial.
- Por fim, isolar a incógnita.
Outro modo de encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples consiste em colocar o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, adicionar um número 9.
Já para as para as dízimas compostas, além de adicionar o número 9 para cada algarismo do período, o zero é adicionado no denominador para cada algarismo do anteperíodo.
Posteriormente, no numerador é realizado o seu cálculo: (parte inteira com anteperíodo e período) - (parte inteira com anteperíodo).
Exemplo 1 – Qual a fração geratriz do número 0,8888…?
Utilizando o primeiro método temos:
x = 0,8888…
10 x = 10 x 0,8888…
10 x = 8,888…
A fração geratriz dessa dízima é:
X = 8/9
Exemplo 2 – Qual a fração geratriz do número 0,171353535…?
No exemplo acima, temos um caso de dízima periódica composta. O número 17135 é composto pela junção do anteperíodo 171 com o período 35. Ao realizar a subtração deste número obtemos 16964, o numerador da fração geratriz.
Já o denominador é formado por dois dígitos 9, que são os dígitos do período, assim como no caso das dízimas periódicas simples. Logo depois tem os três zeros, que são os 3 dígitos do anteperíodo.
Que tal um resumo sobre função geratriz? Confira no vídeo abaixo: