A função afim, também conhecida como função de primeiro grau, é definida pela fórmula f(x) = ax + b, pois f: ℝ→ℝ.
Como o nível de uma função é dado pela maior potência da variável independente (x), no caso da função afim o maior expoente é 1(x¹). Nesse tipo de função de primeiro grau o valor de "a" é chamado de coeficiente angular ou taxa de variação da função, e o "b" de coeficiente linear ou valor inicial.
As funções f(x) = 2x+5 (a = 2 e b = 5); f(x) = -10x (a = -10 e b = 0) e f(x) = 1/3x + 1/7 (a = 1/3 e b = 1/7) são exemplos de função afim.
Função Afim: coeficientes
Na formação f(x)= ax +b, o número de “a” é reconhecido como a taxa de crescimento (variação) ou de coeficiente angular porque indica o quanto a função pode crescer e a inclinação da reta em relação ao eixo x no plano cartesiano.
O termo “b”, que é constante, é o coeficiente linear da função. A partir dele é possível encontrar o ponto onde a reta passa no eixo y do gráfico quando o x = 0. Entenda:
Em f(x) = 2x + 3 a função irá cortar o eixo das ordenadas (y) no ponto (0,3), pois f(0) = 2.0+3 = 3.
Função Afim: gráfico
O gráfico da função afim é uma reta, sendo que o valor do coeficiente angular determina se a ela é crescente ou decrescente:
- Quando o a for maior que zero (a > 0) a função é considerada crescente;
- Quando o a for menor que zero (a < 0) a função é considerada decrescente;
- Quando a função for crescente, o ângulo entre a reta e o eixo x será menor que 90° (agudo);
- Quando a função for decrescente, o ângulo entre a reta e o eixo x será maior que 90° (obtuso).
A função 2x – 1, por exemplo, é crescente. Isso porque o valor de a = 2 (positivo: maior que zero). Já a função –x + 4 é decrescente, pois o valor de a = -1 (negativo: menor que zero). Vejamos nos gráficos abaixo:
Para traçar a reta do gráfico são necessários dois pontos: um pela raiz da função e outro pela substituição do valor de x por 0 (y = b), ou seja:
f(x) = ax + b
f(x) = a . 0 + b
y = b
Raiz
A raiz de uma função afim é o ponto que passa pelo eixo x, ou seja, no momento em que y = 0. Sendo assim, basta substituir o y por 0 na fórmula que a raiz da função será encontrada.
f(x) = ax + b
0 = ax + b
ax = -b
x = -b/a
As funções de primeiro grau apresentam apenas uma raiz.
Classificação da Função Afim
Existem três tipos de função afim: linear, identidade e constante. Observe as características de cada uma delas.
Constante
Uma função afim é identificada como constante se f(x) = b, ou seja, o coeficiente angular igual a zero (a = 0). Nessas situações, o gráfico apresentará uma reta paralela ao eixo x, passando o y no ponto b.
Dado f(x) = 2x + 3, o gráfico será interceptado no eixo 3, porquê:
f(x) = 2.0+3
f(x) = 3
Identidade
Uma função afim é identificada como identidade se f(x) = x, isto é, quando o coeficiente angular é igual a 1 e o coeficiente linear igual a zero (a = 1; b = 0). Nesses casos, a reta passará pela origem (0,0).
A reta é chamada de bissetriz – semirreta que separa o ângulo em dois da mesma medida – dos quadrantes ímpares (1º e 3°).
Linear
Uma função afim é identificada como linear se f(x) = ax, sendo o coeficiente angular diferente de zero (a ≠ 0) e o coeficiente linear igual a zero (b = 0). Nesses casos, a reta também passará pela origem (0,0).
f(x) = 2x; f(x) = – 5x ou f(x) = 1/6 são funções lineares. No gráfico abaixo temos a representação do primeiro exemplo:
Aplicação
Dada a função f(x) = 4x + 9 vamos determinar o valor de x para f(x) = 3.
Temos:
f(x) = 4x + 9
3 = 4x + 9
3 – 9 = 4x
– 5 = 4x
x = – 5/4
Já a raiz dessa mesma função é:
f(x) = 4x + 9
4x + 9 = 0
4x= – 9
x = – 9/4