A função de primeiro grau é aplicada na relação de dependência entre os valores numéricos de uma determinada equação algébrica.
Nesse tipo de função, a variável “x” que define quais serão os valores, ou seja, para cada valor de “x” significa um outro para “y”. Em linhas gerais, pode-se entender que a função de primeiro grau são componentes que ligam números de um conjunto a um único número de outro.
Os conjuntos, que são conhecidos como A e B e no qual estão presentes as variáveis "x" e "y", são chamados de domínio da função e contradomínio (imagem da função). Já "x" e "y" são conhecidos, respectivamente, como variável independente e variável dependente.
Por isso, a função de primeiro grau tem a seguinte fórmula:
y = ax + b ou f(x) = ax + b
Como “y” sempre dependerá de “x”, os valores de “a” e “b” pertencem a categoria dos números reais, sendo o a diferente de zero (a ≠ 0).
O nível de uma função é dado pela maior potência da variável independente. No caso dessa, a maior potência será 1, por isso ela é definida como de primeiro grau (x¹). Isso ocorre porque o grau de uma função é dado pelo maior expoente que a variável assume. Isto é, se tiver expoente 1 é identificada como de primeiro grau. Se tiver expoente 2 é identificada como função de segundo grau.
Exemplos de função de primeiro grau
Como já sabemos, a função de primeiro grau – que também é nomeada de função afim – é escrita por y = ax + b. Através das substituições na fórmula, temos:
y = 4x + 7 ( a = 4 e b = 7)
y = – 3x + 12 ( a = – 3 e b = 12)
y = 5x ( a = 5 e b = 0)
De acordo com os exemplos acima, mesmo que o sinal de “a” seja negativo, a função não deixa de ser do primeiro grau. Já para aquelas equações em que o “b” não aparece seu valor será sempre igual a zero.
Aplicações da fórmula
O intuito de resolver uma função de primeiro grau é encontrar o valor da incógnita, isto é, o valor da variável desconhecida. Elas podem ser simbolizadas por qualquer letra, porém as mais utilizadas são x, y e z. Vejamos o exemplo:
y = ax + b
10 = 6x + 4
10 – 4 = 6x
6 = 6x
x = 6/6
x = 1
Na matemática, o momento em que um número da equação passa de lado do igual, deve-se inverter a operação. Se tiver somando, mudará subtraindo, se tiver multiplicando, mudará dividindo e vice-versa.
Na aplicação acima, ao passar o número 4 para depois do sinal de igual, ele subtraiu o valor de y (10). Já o número 6, que multiplica o x, passou dividindo.
Para as equações em que a variável independente é negativa, precisa-se multiplicar todos os números da equação por -1. Assim:
y = ax + b
16 = – 3x + 10
16 = -3x +10 . ( – 1)
-16 = 3x – 10
-16 + 10 = 3x
– 6 = 3x
x = – 6/3
x = – 2
Gráfico da função de primeiro grau
A função de primeiro grau é representada no gráfico por uma reta. Como “a” e “b” são coeficientes da função, o valor de “a” vai determinar se ela é crescente ou decrescente, e de “b” o ponto de intersecção com o eixo “y” do plano cartesiano.
Função crescente
Nos momentos em que a for maior que zero (a > 0), a função será positiva e, consequentemente, crescente. Isso porque nos momentos em que os valores de “x” aumentam, os de “y” também crescem.
Na tentativa de melhor entendimento, vamos criar um plano cartesiano da função y = 2x – 1 (a = 2 e b = – 1). Para isso, durante a construção do gráfico, precisamos escolher valores reais de “x” e encontrar os de “y”.
Na tabela a seguir atribuímos os valores de x = 1 e x = 2:
| y= 2x-1 | y | Par ordenado (x,y) | |
| x= 1 | y= (2.1) – 1 | 1 | (1, 1) |
| x= 2 | y= (2.2) – 1 | 3 | (2, 3) |
No eixo horizontal coloca-se os valores de “x” e no vertical os de “y”.
Função decrescente
Nos momentos em que a for menor que zero (a < 0), a função será negativa e, como resultado, decrescente. Isso ocorre porque à medida que os valores de “x” aumentam, os de “y” diminuem.
Entenda melhor no gráfico da função y = – x + 4 (a = -1 e b = 4):
| y = – x + 4 | y | Par ordenado (x, y) | |
| x= – 2 | y= – (-2) + 4 | 6 | (- 2, 6) |
| x= 1 | y= – (-1) + 4 | 3 | (1, 3) |
Temos:
Além disso, o gráfico da função de primeiro grau apresenta as seguintes propriedades:
- Quando a função for crescente, o ângulo entre a reta e o eixo x
será menor que 90° (agudo); - Quando a função for decrescente, o ângulo entre a reta e o eixo x
será maior que 90° (obtuso); - Somente um ponto corta o eixo x, a raiz da função. Para encontrar a raiz basta considerar y = 0;
- Somente um ponto corta o eixo y, o valor de b.