A função exponencial indica uma relação de dependência em que existe uma variável no expoente e o número real (maior que 0 e diferente de 1) na base. Tal descrição é explicitada na seguinte notação: f: R→R tal que y = ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1.
Na matemática, uma função é caracterizada pela relação em que uma incógnita depende do valor da outra.Contudo, o que diferencia uma função comum de uma exponencial é que, na exponencial, a incógnita está no expoente.
Não entendeu? Confira abaixo alguns exemplos de funções exponenciais:
y = 3x
y = 2x + 4
y = 0,8x
y = 8x
Nos exemplos anteriores, os números 3, 2, 0,8 e 8 correspondem às bases, enquanto o x é o expoente.
A função exponencial, de certo modo, pode ser caracterizada como uma extensão da operação de potenciação para expoentes não inteiros. Quando x é um número natural maior do que 1, a potência ax indica a multiplicação da base a por ela mesma quantas vezes x indicar.
Na potenciação 5² indica que 5 x 5 = 25. Deste modo, a expressão 5² equivale a 25.
Propriedades da função exponencial
A função exponencial possui algumas propriedades, resultantes das potências e outras características que podem auxiliar na realização de vários cálculos, por exemplo: capitalização por juros compostos, decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias em uma colônia, etc.
Existem cinco propriedades. Confira o que dizem:
1ª propriedade: se x = 0, logo f(x) = 1
Essa é uma característica da potência e diz que todo número elevado a 0 é igual a 1. Observe o exemplo da função f(x) = 3x , em que x = 0:
f(x) = 3x
f(0) = 30
f(0) = 1
2ª propriedade: se a > 1, a função será crescente
A função será crescente na condição de que ax1 < ax2 e, sempre, que a >1, independentemente do valor de x. Observe o exemplo da função f(x) = 2x, em que a = 2 e os expoentes assumem o valor de x1 = 1 e x2 = 2:
ax1 < ax2
21 < 22
2 < 4
3ª propriedade: se 0 < a < 1, a função será decrescente
Essa propriedade assemelha-se à anterior, contudo X1 < X2 , e que 0 < a < 1, como consequência há ax1 > ax2. Observe o exemplo da função f(x) = = 0,5x, em que a = 0,5 e os expoentes assumem o valor de x1 = 1 e x2 = 2:
x1 < x2
ax1 > ax2
0,51 > 0,52
0,5 > 0,25
4ª propriedade: sempre que ax1 = ax2, então x1 = x2
Sempre que existir um sinal de igual entre as potências, inevitavelmente os expoentes possuem o mesmo resultado. Observe o exemplo da função f(x) = 7x, em que f(x1) = 49 e f(x2) = 49:
f(x1) = f(x2)
ax1 = ax2
7x1 = 7x2
De acordo com essa propriedade, o resultado das duas potências é igual a 49, então, x1 e x2 correspondem a 2.
x1 = x2 = 2
Gráfico da função exponencial
Na função exponencial a base sempre é maior que zero. Deste modo, a imagem na função será positiva e não terá pontos nos quadrantes III e IV (imagem negativa) do plano cartesiano.
Para representar uma função em forma de gráfico, basta atribuir alguns valores para x e montar uma tabela com os respectivos valores de f(x), identificando os pontos no plano cartesiano e em seguida traçar a curva do gráfico.
Essa relação expressa a 5ª propriedade da função exponencial, que diz que o gráfico da função exponencial sempre estará acima do eixo x.
Quando a função é decrescente, os valores de y no plano cartesiano aproximam-se de zero na medida que o valor de x aumenta. Já na função crescente, se x aumenta y também aumenta.
Observe abaixo os gráficos das funções crescente e decrescente:
Aplicação
Observe o gráfico f(x) = 2x (azul) e g(x) = 2 – x (vermelho).
As seguintes observações podem ser feitas:
- Os gráficos passam pelo ponto (0,1);
- Seja quais forem os valores de x os valores de f(x) serão positivos;
- O gráfico de f(x) = 2x é crescente, pois a > 1, já o gráfico de g(x) = 2 – x apresenta um aspecto de uma função decrescente, já que 0 < a < 1;