Função modular corresponde à lei que associa elementos de um conjunto em módulos – representado por barras e sempre positivo. Tal função é expressa por f(x) = | x |, de modo que: x, se x ≥ 0 e -x, se x < 0.
Confira alguns exemplos de módulos:
- 11 + |5| = 11 + 5 = 16
- |-2| . |-6| = -(-2) . -(-6) = 2. 6 = 12
- |5| – 2 = 5 – 2 = 3
Para dar continuidade ao tema função modular é necessário compreender o que é módulo, bem como relembrar o que é uma função e seus conceitos relacionados. Acompanhe a explicação e boa leitura!
O módulo
O conjunto dos números inteiros engloba os números positivos e negativos, que podem ser visualizados graficamente em uma reta numérica. Na imagem abaixo estão destacados os números -3 e +3, sendo o ponto 0 (zero) chamado de origem.
A distância entre cada número da reta é dada por “uma unidade”. Observando a imagem, podemos perceber que o -3 está a três unidades da origem e que o +3 também está a três unidades da origem, mas no sentido contrário.
De forma simplificada, o módulo é definido como a distância de um determinado número até o zero, por isso também é intitulado como valor absoluto de um número real. Ele ainda possui as seguintes características:
- O módulo de um número
real positivo é o próprio número; - O módulo de um número
real negativo é o oposto do número.
Acompanhe o seguinte exemplo: o módulo de 13 é a distância entre o esse número até o zero, 13 unidades. Logo |13| = 13. Se levado em consideração as características descritas, no módulo de -13 também são percorridas 13 unidades até chegar em 0. Então, |-13| = 13.
Ratificando! se x for maior ou igual a zero (número positivo), o seu módulo será igual a ele mesmo. Mas se x for menor que zero ou um número negativo, então o seu módulo será o oposto dele, no caso -x.
Portanto, já ficou claro que quando um número é igual a zero ou é positivo, o resultado de seu módulo é o próprio valor. Mas quando o número é menor que zero, para calcular o módulo deve-se fazer a multiplicação do número por “-“ ou “-1” para encontrar o oposto do número.
Função e função modular
Resumidamente, as funções matemáticas explicitam uma relação genérica existente entre um conjunto A e um conjunto B, expressa porf: A --> B (lê-se f de A em B). Essa relação é composta por alguns elementos:
- f é o nome da função
- A é chamado de domínio
- B é chamado de contradomínio
- y = f(x) é a lei que relaciona os elementos x que pertencem à A e dos elementos y que pertencem à B.
Uma função também possui outros conceitos relacionados. O domínio (D) corresponde ao conjunto de saída. Enquanto a imagem (Im) representa todos os elementos que relacionam-se com os elementos do domínio.
Já o contradomínio (Cd) representa o conjunto de chegada, ou seja, os elementos que podem relacionar-se com o domínio. Mas atenção! Para que um função seja válida, nem todos os elementos do conjunto B precisam ser utilizados.
A função modular
Já a função modular é dita como f: ℝ → ℝ. Dentro dessa condição, o domínio e o contradomínio possuem elementos dentro do conjunto dos números reais, que correspondem aos números positivos, negativos, frações, dízimas periódicas e raízes.
A base do conceito de módulo também é aplicado ao de função modular. Se o valor de x for positivo ou igual a zero, o valor da imagem será igual a ele. Mas, se o valor de x for negativo ou menor que zero, o valor da imagem será igual no módulo, mas com o sinal oposto ao valor de x.
Gráfico da função modular
A construção do gráfico da função modular f(x) = |x| segue o mesmo método para qualquer outro tipo de função. Primeiro, vamos montar uma tabela com alguns valores para x e y ou f(x), antes transcrever para o plano cartesiano.
Os valores de x serão –2, –1, 0, 1 e 2.
Observe que valores de x, quando positivos e iguais a zero, permaneceram os mesmos em y. Porém os valores negativos de x, quando estão em y, permaneceram o mesmo do módulo e com sinais opostos. Esses pares ordenados no plano cartesiano dão origem ao seguinte gráfico: