A função quadrática é representada pela expressão f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a é diferente de 0 (zero). Nesse caso, o dois é o maior expoente a variável, por isso a expressão também é conhecida como função de segundo grau.
A depender do expoente da variável, uma função pode ser classificada em:
- Função afim ou função de primeiro grau: f(x) = ax + b. Exemplo: f(x) = 8x + 1;
- Função quadrática ou função de segundo grau: f(x) = ax² + bx+ c. Exemplo: f(x)= x² – 2x;
- Função cúbica ou função de terceiro grau: f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Exemplo: f(x) = 4x³ + 2x² + 2x + 1;
Veja abaixo outros exemplos de funções quadráticas:
- f (x) = 2x² + 3, sendo a = 2, b = 0 e c = 3;
- f(x) = – x² + x + 5, sendo a = 1, b = 1 e c = 5;
- f (x) = 4x² – 2x, sendo a = 4, b = -2 e c = 0;
Para uma equação ser considera função há dois elementos básicos:
Imagem que indica os valores em que f(x) ou y podem assumir na função, de modo que correspondem aos valores das ordenadas (y);Domínio que corresponde aos possíveis valores das abscissas (x).
Gráfico da função quadrática
O gráfico da função quadrática no plano cartesiano possui uma curva chamada de parábola, cuja concavidade é definida pelo valor do coeficiente a. Se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima, já se a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.
Raízes e vértices
As raízes ou zeros da função representam os valores de x, tal que que f(x) = 0. Esse valor é dado a partir da fórmula de Bháskara ou qualquer outro método resolutivo. Em relação à função quadrática, podem surgir três situações: duas raízes reais e distintas, duas raízes reais iguais ou nenhuma raiz.
Diferente da função de primeiro grau, na função quadrática é necessário conhecer mais que dois pontos para traçar o gráfico. Isso é determinado pelo valor de ∆, na expressão ∆ = b² – 4ac:
- Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais distintas e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos;
- Se ∆ = 0 a, função tem duas raízes reais iguais e a parábola é tangente ao eixo x;
- Se ∆ < 0, a função não tem raízes reais e a parábola não intercepta o eixo x.
Como resolver uma função quadrática
A resolução de uma função quadrática envolve algumas etapas. Dada a função quadrática 2x² + 8x – 24 = 0, o primeiro passo para solucioná-la é escrever os valores dos coeficientes. Logo:
a = 2
b = 8
c = – 24
O segundo passo é calcular o valor ∆, a partir da expressão b² - 4ac. Sendo assim:
Δ = b2 – 4ac
Δ = 82 – 4·2·(– 24)
Δ = 64 + 192
Δ = 256
O terceiro e último passo é substituir os valores encontrados na fórmula de Bháskara, sabendo que, o sinal +/- indica que o delta possui um valor positivo e outro negativo, respectivamente x’ e x’’. Assim temos:
x = – b ± √Δ/ 2·a
x = – 8 ± √256/ 2.2
x = – 8 ± 16/ 4
X’ = – 8 + 16/4
X’ = 8/4
X' = 4
x” = – 8 – 16/ 4
x” = –24/4
X'' = -6
Aplicação
Dada a função x² – x – 30 = 0, qual os valores das raízes?
Sabemos que a = 1, b = – 1 e c = – 30, aplicados no cálculo de delta, temos:
Δ = b2 – 4ac
Δ = (–1)2 – 4·1·(–30)
Δ = 1 + 120
Δ = 121
x = – b ± √Δ/ 2·a
x = – (–1) ± √121/ 2·1
x = 1 ± 11/ 2
x’ = 1 + 11/2
x’ = 12/2
x' = 6
x” = 1 – 11/2
x” = – 10/2
x'' = -5