A Geometria Espacial é uma subárea da Geometria, dentro da matemática, que estuda as figuras com mais de duas dimensões, os chamados sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais. Essa subárea aborda a tridimensionalidade das figuras, ou seja, as medidas de comprimento, a largura, a altura.
A Geometria, por ser por dedicar-se ao estudo das medidas e das propriedades das figuras, além da Geometria Espacial, possui outras duas subáreas: a Geometria Plana (responsável pelo estudo do plano e do espaço) e a Geometria Analítica (que possui relação com a álgebra e a análise matemática).
Conceitos primitivos em Geometria Espacial
Para o estudo dos sólidos geométricos e suas inter-relações é necessário compreender os conceitos primitivos:
- Ponto: é objeto que não possui dimensão ou forma, não sendo possível determinar medidas como largura, comprimento, altura, área, etc. Os pontos são usados para representar localizações da forma no espaço.
- Reta: conjunto de infinitos pontos concebidos como uma linha infinita e sem curvas. Assim como o ponto, não é possível medir a largura da reta, o que a caracteriza como figura unidimensional.
- Semirreta: uma reta que possui começo, mas não possui fim;
- Segmentos de reta: parte da reta que possui ponto inicial e ponto final;
- Linha: semelhante a reta, a linha é infinita para cada lado, mas tem a possibilidade de formar curvas e nós sobre si mesma.
- Plano: formado pelo enfileiramento de retas, o plano é o objeto no qual as figuras geométricas bidimensionais são construídas. Possuem medidas de largura e de comprimento.
- Espaço: extensão natural do plano para a terceira dimensão. Os sólidos geométricos são construídos no espaço, pois além de largura e comprimento podem ter profundidade.
Axiomas
Na obra “Os Elementos”, Euclides de Alexandria dividiu as proposições em postulados (sentenças que não precisam de demonstração). Contudo, em muitos contextos matemáticos os termos axiomas e postulados são descritos como semelhantes. Sendo que, a principal diferença é que nos axiomas há possibilidade de atestar.
Euclides desenvolver cinco postulados sobre a Geometria, que envolve alguns conceitos primitivos. Confira abaixo:
- P1) Uma reta pode ser traçada de um ponto para outro qualquer;
- P2) Qualquer segmento finito de reta pode ser prolongado indefinidamente no sentido da reta;
- P3) Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se traçar um círculo de centro naquele ponto e raio igual à dada distância;
- P4) Todos os ângulos retos são iguais entre si;
- P5) Se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos interiores (de um mesmo lado) seja menor que dois ângulos retos, então as duas outras retas se cruzam (quando suficientemente prolongadas) do lado da primeira reta em que se acham os dois ângulos.
As principais figuras da Geometria Espacial
A Geometria Espacial estuda as figuras tridimensionais, sendo as mais conhecidas: o cubo, a pirâmide, a esfera, o prisma, etc. Esses sólidos, por sua vez, estão divididos em dois grupos: os corpos redondos (delimitados por alguma superfície arredondada) e os poliedros (superfícies delimitadas por figuras geométricas planas).
Poliedros
Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é composta por um número finito de faces, em que cada uma das faces é um polígono. Um poliedro possui os seguintes elementos:
- Faces: superfícies planas de um poliedro que o limita;
- Arestas: lados dos polígonos que delimitam as superfícies;
- Vértice: encontro de três ou mais arestas.
Os poliedros também podem receber nomes especiais de acordo com número de faces, conforme os exemplos abaixo:
- Tetraedro: quatro faces;
- Pentaedro: cinco faces;
- Hexaedro: seis faces;
- Heptaedro: sete faces;
- Octaedro: oito faces;
- Decaedro: dez faces;
- Dodecaedro: 12 faces;
- Icosaedro: vinte faces.
Dentro da Geometria Espacial, esses sólidos ainda podem ser classificados em:
- Convexos: quando os poliedros se encontram totalmente no semiespaço que essa face determina.
- Côncavos: quando duas das faces do poliedro não estão contidas em apenas um semiespaço.
Todo poliedro convexo obedece à Relação de Euler, representada por meio da relação entre vértices (V), arestas (A) e faces (F).
V + F = A + 2 ou V – A + F = 2
Dentro dos poliedros convexos, ainda existem os poliedros regulares (Sólidos Platônicos ou Poliedros de Platão). Aqueles os quais todos os lados possuem a mesma medida e todos os ângulos internos são congruentes entre si. Limitados em apenas cinco: tetraedro, hexaedro, dodecaedro, icosaedro e octaedro.
Prisma – O prisma é um poliedro composto por duas faces paralelas que formam a base (triangular, quadrangular, pentagonal ou hexagonal). E de acordo com sua inclinação, eles podem ser retos (a aresta e a base fazem um ângulo de 90º) ou oblíquos (ângulos diferentes de 90º).
Fórmulas do prisma:
Área da Face: a.h
Área Lateral: 6.a.h
Área da base: 3.a3√3/2
Volume: Ab.h
Onde, Ab: Área da base | h: altura
Cubos e paralelepípedos são dois exemplos de prismas, porém considerados especiais dentro da Geometria Espacial.
Pirâmide – Uma pirâmide é composta por uma base (triangular, pentagonal, quadrada, retangular ou paralelogramo) e um vértice que une todas as faces laterais. Quanto à sua inclinação, a pirâmide pode ser classificada em reta (ângulo de 90º) ou oblíqua (ângulos diferentes de 90º).
Fórmulas pirâmide:
Área total: Al + Ab
Volume: 1/3 Ab.h
Corpos redondos
Os corpos redondos, também chamados de sólidos de revolução, possuem superfícies curvas e não apresentam faces laterais. Na Geometria Espacial, os corpos redondos estão restritos ao cone, ao cilindro e a esfera.
Cilindro – O cilindro é uma figura geométrica formada por duas bases, com forma circular, altura e geratriz (altura em cilindros retos). No cilindro reto, a geratriz forma com a base um ângulo de 90°, enquanto no cilindro oblíquo as geratrizes são oblíquas às bases.
O cilindro circular reto também é chamado de cilindro de revolução pelo fato de ser gerado a partir da rotação completa de um retângulo plano.
Fórmula cilindro:
Área lateral: Al = 2.π.r.h
Área da base: Ab = π.r²
Área total: At = Al + 2.Ab ou At = 2.π.r(h + r)
Volume: V = Ab.h
Onde, At: área total | Ab: área da base | Al: área lateral | π (Pi): 3,14 | r: raio | h: altura | V: volume
Cone – O cone é formado por uma base circular, com altura, vértice e lateral também é chamada de geratriz. Essas figuras ainda podem ser classificadas em reta (quando a altura forma um ângulo de 90° com a base) ou oblíqua (o eixo não é perpendicular à base da figura).
É denominado cone de revolução aquele gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
Fórmulas do cone:
Área da base: Ab = π.r²
Área lateral = Al = π.r.g
Área total: At = π.r (g+r)
Volume: V = 1/3 π.r².h
Onde, Ab: área da base | π (Pi) = 3,14 | r: raio | Al: área lateral | h: altura | g: gereatriz
Esfera – A esfera é uma figura simetricamente proporcional, sendo formada por uma superfície de curva contínua. Centro, raio e diâmetro são os elementos que compõe esse sólido da Geometria Espacial.
A figura geradora da esfera é o semicírculo, que por meio do processo de rotação, gira em torno de seu eixo e forma uma superfície esférica.
Fórmulas esfera:
Área: Ae = 4.π.r²
Volume: Ve = 4. π.r³/3
Onde, Ae= área da esfera | Ve: volume da esfera | π (Pi) = 3,14 | r: raio