A lógica matemática analisa as aplicações da lógica formal à matemática, com objetivo de verificar se uma proposição é verdadeira ou falsa. Ela pode ser utilizada para resolver simples questão de vestibular e até na construção da linguagem de computadores.
Mas você sabia que a lógica nem sempre esteve associada à matemática? Inicialmente, a lógica foi estudada com a retórica, por meio do silogismo e da filosofia. Essa também foi a base do raciocínio lógico.
De acordo com Aristóteles, um dos maiores colaboradores da área, a lógica não era um ciência e sim um instrumento correto para pensar.
Essa linha de pensamento foi seguida por muitos anos. Somente em meados do século XIX, George Boole e Augustus de Morgan apresentaram os fundamentos da lógica algébrica. Esse foi o pontapé para lógica matemática tornar-se uma subárea da matemática.
Lógica proposicional
Na lógica matemática, o conceito mais básico é o de proposição, que deriva do verbo propor “apresentar; colocar diante de”. A proposição também é definida como uma sentença que pode ser escrita em linguagem formal ou não.
Uma proposição é uma sentença afirmativa, a qual é associada a um valor verdadeiro ou falso, mas nunca não ambos. Geralmente é indicada por uma letra minúscula (p, q, r, s ou t).
Por exemplo:
p: Carla é professora
Se consideramos que a proposição p é verdadeira, ou seja, Carla é professora, então podemos afirmar que o valor lógico da proposição p é verdadeira ou usar a equação VL(p) = v.
As proposições ainda podem ser classificadas como simples ou compostas. No primeiro caso, elas estão sozinhas e desacompanhadas de outras proposições. Por exemplo:
p: o carro é azul
Quando são combinadas duas proposições, forma-se uma proposição composta, ou seja, duas ou mais proposições conectadas entre si. Por exemplo:
r: o carro é azul e Pedro é motorista
Lógica matemática: operações
As operações realizadas a partir de proposições são denominadas de operações lógicas. Essas operações seguem as regras do cálculo proposicional e são semelhantes à aritmética dos números.
Negação – essa operação representa o valor lógico oposto de uma proposição p, sendo denominado como “não p” ou ainda “~ p”, que indica a negação de p. Sendo assim, quando uma proposição é verdadeira, a não proposição será falsa.
Considere os exemplos abaixo:
p: meu filho estuda muito.
~p: meu filho não estuda muito
Se r = 1+1 = 2, então r é verdade, ou seja, r = V
Se ~r = 1+1=2, então r é falso, ou seja, r = F
Conjunção – dentro da lógica matemática, essa operação é utilizada apenas quando existe entre as proposições o conectivo “e”, simbolicamente representado por “^”. A operação será verdadeira apenas se todas as proposições também forem verdadeiras.
Na operação da conjunção é importante saber que:
V ^ V = V
F ^ F = F
V ^ F = F
F ^ V = F
Considerando p: 3 + 4 = 7 e q: 2 + 12 = 10, o valor lógico das proposições p ^ q é falso. A justificativa para tal é que a primeira proposição é verdadeira, mas a segunda é falsa.
Disjunção – nessa operação, o valor lógico será verdadeiro quando pelo menos uma das proposições for verdadeira. Consequentemente, o valor será falso somente quando as duas proposições forem falsas.
A representação da disjunção entre duas proposições é representada por “p v q”, que corresponde a “p ou q”. Dito isso, é importante saber:
V v V = V
F v F = F
V v F = V
F v V = V
Observe o exemplo abaixo:
p = Rio de janeiro é a capital do Brasil
q = 1+1 = 2
Logo, p v q = V
Condicional – o conectivo utilizado nessa operação é o “se… então …”, simbolicamente representado por –>, lendo-se “se p, então q”. Em p –> q,o valor lógico será falso se p for verdade e q for falso. Em todas as outras situações o valor será verdadeiro.
Deste modo, podemos concluir que:
V –> V = V
F –> F = V
V –> F = F
F –> V = V
Considere a seguinte proposição: se um dia possui 20 horas, então um ano tem 365 dias? O valor lógico dessa operação é verdadeiro, pois a primeira proposição é falsa e a segunda verdadeira.
Bicondicional – a partir do operador “se e somente se”, simbolicamente representado por <–>. Em p <--> q, o valor lógico será verdade se ambas as proposições forem verdadeiras ou falsas. Nos demais casos o valor lógico sempre será falso.
Deste modo, podemos concluir que:
V <–> V = V
F <–> F = V
V <–> F = F
F <–> V = F
Considere as proposições: p = 2+2 = 4 e q = 1+1 = 3. Logo, p <–> q = F pois uma das proposições, neste caso a segunda, é falsa.