Caracteriza-se como média geométrica a raiz n-ésima do produto de n elementos dentro de um conjunto numérico. É uma medida de tendência central frequentemente aplicada na matemática financeira ou em pesquisas sobre crescimentos proporcionais, variados e exponenciais.
Assim, é dada pela seguinte fórmula:
Em que,
Mg: média geométrica
n: elementos do conjunto
x1, x2, x3, …, xn: valores dos elementos
Como determina o valor típico de um conjunto numérico através da multiplicação dos seus valores, a média geométrica apenas admite números positivos, já que os negativos resultam em raízes negativas. Além disso, o zero não costuma ser utilizado, pois origina uma raiz nula para quaisquer valores aplicados.
Quando encontramos a média entre dois termos, por exemplo, o índice presente na raiz será dois, logo teremos uma raiz quadrada. Já se cálculo envolver três termos, a raiz terá índice 3, isto é, raiz cúbica, e assim sucessivamente. Por tais motivos, os números precisam ser positivos.
Vejamos melhor no exemplo:
Dado o conjunto A = {3,5,12}, qual a média geométrica entre seus termos?
Reparem que o conjunto é formado por três elementos, então devemos multiplicá-los e do resultado extraímos a raiz cúbica.
Aplicações da Média Geométrica
Agora que entendemos a definição da fórmula através do exemplo, vamos conhecer as aplicações mais frequentes da MG. Os cálculos são muito utilizados em casos envolvendo valores que sofrem aumentos sucessivos ou permanecem de maneira contínua.
Sequência de Variações Percentuais
Uma das utilidades da média geométrica é na matemática financeira, principalmente quando os problemas apontam sequências de variações percentuais.
Exemplo:
Supondo que Maria ganhe aumento de 10% em um mês e 20% após 7 meses de trabalho. Qual o aumento médio recebido pela funcionária?
Para resolver essa questão devemos encontrar o aumento médio percentual do salário diante dos aumentos de cada mês. Como trata-se da média geométrica aplicada em porcentagens, as taxas percentuais precisam ser convertidas em taxas unitárias:
10% = fator de crescimento de 1,10 (100% + 10% = 110% = 1,10)
20% = fator de crescimento de 1,20 (100% + 20% =120% = 1,20)
Substituindo na fórmula, teremos:
GM = √1,10.1,20
GM = √1,32
GM ≅ 1,1489
O valor encontrado, 1,1489, equivale ao aumento de 14,89% (1, 1489.100% = 14,89%). Ou seja, ao receber um aumento de 10% no primeiro mês e 20% após o sétimo, Maria conseguiu uma média de aumento em torno dos 14,89%.
Digamos que o salário seja de 1300 reais, quando aplicamos a taxa de crescimento temos:
Com aumento de 10% = 1300. 1,1489 = 1493,57
Com aumento de 20% = 1493,57. 1,1489 = 1715,96
Geometria
Outra aplicação da média geométrica é nas geometria plana e geometria espacial. Na figura do triângulo retângulo, por exemplo, a sua altura equivale à distância entre a hipotenusa e o vértice oposto (onde fica o ângulo de 90°).
Caso uma linha dividisse a hipotenusa em dois segmentos, a média geométrica entre as medidas desse segmento seria o mesmo valor da altura.
Médias
Assim como a média geométrica, as médias aritmética e harmônica foram descobertas pelos estudos do filósofo e matemático Pitágoras. Entre as três operações com conjuntos numéricos positivos, a média aritmética é a maior delas, pois é classificada em simples e ponderada.
A média aritmética simples é dada pela soma de todos os dados de um conjunto e divisão da quantidade total de elementos encontrados, isto é:
M = (x1 + x2 + x3 + … + xn) /n
Exemplo:
A média entre {12, 15, 21, 27} é:
x1: 12
x2: 15
x3: 21
x4: 27
n: 4, já que são quatro elementos dentro do conjunto.
Utilizando a fórmula, temos:
M = (x1 + x2 + x3 + … + xn) /n
M = (12 + 15 + 21+ 27) /4
M = 75/4 = 18,75
Percebe-se que o resultado acima não é um dos termos que integram o conjunto. Isso acontece porque o cálculo da média serve para estipular um valor único. Como esses valores podem ser pequenos ou grandes, são chamados de medidas de centralidade.
Já a média aritmética ponderada engloba o peso de cada elemento do conjunto e, por isso, é determinada pela soma dos produtos entre os elementos com o seu respectivo peso e divisão do resultado com a soma de todos os pesos.
Mp = x1. p1 + x2. p2 + x3. p3 +… + xn. pn / p1 + p2 +p3 +… + pn