A multiplicação de matrizes é o processo que exige operações com os elementos, também chamados de entradas, das linhas da primeira matriz com os que estão nas colunas da segunda.
As matrizes são definidas pelas tabelas mxm (“m por n”), no qual cada entrada é determinada por aij, sendo o i a posição dos número nas linhas e j a localização na coluna.
Essas colunas são arrumadas de cima para baixo, e as linhas da esquerda para a direita. As matrizes também apresentam um conjunto principal e outro secundário. A principal é composta pelos elementos de i = j, e a secundária pelas somas de i com j.
Como efetuar a multiplicação de matrizes?
Como vimos brevemente, na multiplicação de matrizes os elementos das colunas de uma matriz são multiplicados pelas entradas das linhas da outra. No entanto, esse método apenas é possível quando:
- O número de linhas de uma matriz é igual ao número de colunas da outra.
- A matriz resultante tem a mesma quantidade de linhas da primeira matriz e de colunas da segunda.
A m x n . Bn x p= Cm x p
Agora que sabemos as regras, vamos entender como é feita a multiplicação de C = B.A
1° passo: multiplica-se a primeira linha de B com a primeira coluna de A
(-1) . 1 + 3.3 = – 1 + 9 = 8
2° passo: multiplica-se a primeira linha de B com a segunda coluna de A
(-1) . 2 + 3.4 = – 2 + 12 = 10
3° passo: multiplica-se a segunda linha de B com a primeira coluna de A
4.1 + 2.3 = 4 + 6 = 10
4° passo: multiplica-se a segunda linha de B com a segunda coluna de A
4.2 + 2.4 = 8 + 8 = 16
Logo, o resultado é:
Lembre-se que a multiplicação de B. A é diferente A. B. Isso ocorre porque a propriedade comutativa não serve para a multiplicação de matrizes.
A única que não sofre alteração é a matriz identidade – tabela formada por 1 e 0 – já que qualquer matriz que for multiplicada por ela mantem-se igual.
Matriz x número real
Na multiplicação da matriz por números reais é necessário operar cada componente dessa matriz pelo número em questão, que é chamado de escalar.
Em outras palavras, caso A seja uma matriz de ordem mxn e a um determinado número real, a matriz resultante reúne o produto entre a e os elementos de A, ou seja:
5 . [ 3 6 9 ] = [ 5.3 5.6 5.9 ] = [ 15 30 45 ]
Matriz inversa
A matriz inversa apresenta o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, dada uma matriz A de ordem mxn, caso exista uma outra matriz de mesma ordem A-1, no qual A. A-1 = A-1 . A = In, A-1 é a inversa de A.
Propriedades
Confirmadas as possibilidades de multiplicação, considera-se as seguintes propriedades:
- Associativa: A . (B . C) = (A . B) . C
- Distributiva à esquerda: A . (B + C) = A . B + A . C
- Distributiva à direita: (A + B) . C = A . C + B . C
- Elemento neutro: Amxn . In = In . Amxn = Amxn
- (a . A) . B = A . (a . B) = a . (A . B)
- (A . B)t = Bt . At
Relembrando
Matrizes são tabelas onde estão estruturados vários números, em formatos de linhas e colunas, possibilitando vários tipos de cálculos.
Na multiplicação de matrizes, os números que estão nas colunas são multiplicados pelos números das linhas. Isso é possível apenas quando o número de linhas e de colunas é igual.