Os números complexos formam um conjunto numérico mais abrangente que os números reais, pois englobam, por exemplo, as raízes quadradas de números negativos. Deste modo, os números complexos são formados por uma parte real e uma parte imaginária, cuja forma algébrica geral é expressa por Z = a + bi.
Na expressão geral, “Z” representa o conjunto dos complexos, “i” é a unidade imaginária e “a e b” são números reais denominados, respectivamente, de parte real Z e parte imaginária de Z. A partir desses elementos é possível realizar operações matemáticas de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Muitos estudantes ainda têm dúvidas quanto a forma de organização dos conjuntos numéricos. Se você é um desses, observe a imagem abaixo que explicita a relação entre os grupos:
O conjunto dos números naturais (N) é composto por todos os números positivos e o zero. Já o conjunto dos números inteiros (Z), além dos elementos dos números naturais, engloba os números negativos. O conjunto dos números racionais (Q), por sua vez, é formado por números que podem ser escritos em frações.
O conjunto dos números irracionais (I) é formado pelos números infinitos e não periódicos, isto é, aqueles que não podem ser representados em frações, a exemplo do número pi (3,14159…).
O conjunto dos números reais (R) engloba aos números racionais e irracionais e também os naturais e os inteiros. Por fim, o conjunto dos números complexos (C) é o maior deles.
História
A história dos números complexos teve início com a tentativa de matemáticos em encontrar a raiz quadrada de um número negativo. Por volta de 1.700 a.C, os sumérios já conseguiam resolver facilmente o que hoje chamamos de equação do segundo grau, eventualmente os resultados levavam a radicais negativos.
Como a matemática era utilizada para solucionar problemas concretos, se durante a resolução de algum deles surgisse a raiz quadrada de um número negativo, interpretava-se que tal problema não tinha solução. Muitos matemáticos tentaram descobrir uma forma de se obter o resultado até então considerado impossível.
Como consequência de uma “disputa” entre matemáticos italianos, em 1572 Raphael Bombelli percebeu a existência dos números complexos. Ele utilizou a equação do tipo x³ -15x – 4 = 0, cujo resultado é x =4, contudo não existem cálculos válidos a partir de números reais capazes de encontrar esse resultado.
Bombelli então aplicou a fórmula de Cardano e obteve uma igualdade com raízes negativas, as quais decidiu trabalhar como se fossem números verdadeiros. De modo que, a expressão da forma a +b (-1), cujo cubo fosse 2 + √(-121) e outra da forma a-b"√(-1)" , cujo cubo fosse 2- √(-121). O i é raiz quadrada de -1, logo i . i = –1 ↔ i2 = –1.
Forma algébrica dos números complexos
Como já dito, os números complexos podem ser escritos da seguinte forma Z = a + bi, portando:
- a é um número real indicado por a = Re (Z)
- b é um número real indicado por a = Im (Z)
Confira alguns exemplos:
- Z = 2 + 5i | Re(Z) = 2 e Im(Z) = 5
- Z = -7 +10i | Re(Z) = -7 e Im(Z) = 10
- Z = 5i | Re(Z) = 0 e Im(Z) = 5
Operações com números complexos
Adição e subtração
Tanto na adição quanto na subtração com números complexos, as operações são realizadas entre termos semelhantes. Ou seja, parte real com parte real e a parte imaginária com parte imaginária.
Dados Z1 = a + bi e Z2 = c + di, na adição tem-se:
Z1 + Z2 = (a + bi) + (c + di)
Z1 + Z2 = a + c + bi + di
Z1 + Z2 = (a + c) + (b + d)i
Já na subtração:
Z1−Z2 = (a+bi) − (c+di)
Z1 – Z2 = a – c + bi – di
Z1−Z2 = (a−c) + (b−d)i
Multiplicação
A multiplicação de números complexos é realizada de acordo com a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição.
Dados Z1 = a + bi e Z2 = c + di, na multiplicação obtém-se:
Z1. Z2 = (a + bi)·(c + di)
Z1. Z2 = ac + adi + bci + bdi²
Z1. Z2 = ac + adi + bci – bd
Z1. Z2 = ac – bd + adi + bci
Z1. Z2 = ac – bd + (ad + bc)i
Divisão
A divisão entre números complexos é realizada através da multiplicação do dividendo e do divisor pelo conjugado do divisor, em z1=a+bi o conjugado será z1=a−bi. O resultado da multiplicação de um número complexo pelo seu conjugado, sempre terá como denominador um número real.
Dados Z1 = a + bi e Z2 = c + di, na divisão tem-se:
z1 / z2 = [z1.z2-] / [z2z2-] = [(a+bi)(c-di)] / [(c+di)(c-di)]