Os números inteiros formam um conjunto numérico constituído pelos números positivos, negativos e o 0 (zero). Eles surgiram a partir da necessidade de contabilizar quantidades especificas, por exemplo, as temperaturas acima e abaixo de 0º C.
O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z, em referência a palavra alemã Zahlen (números ou algarismos). A presença das reticências, indica que esse um conjunto é infinito. Veja abaixo:
Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}
A necessidade de solucionar problemas e quantificar coisas é bastante antiga. Na medida que a matemática avançou, surgiram novos conceitos e conjuntos numéricos. Você sabe como eles estão organizados? Observe abaixo a relação entre os principais grupos:
O conjunto dos números naturais (N) é composto pelos números positivos e o zero. Já o conjunto dos números inteiros (Z), nosso objeto de estudo, além dos elementos dos números naturais, abarca os números negativos.
O conjunto dos números racionais (Q) é formado por números que podem ser representados em frações. O conjunto dos números irracionais (I) é composto pelos números infinitos e não periódicos, ou seja, aqueles que não podem ser representados em frações.
O conjunto dos números reais (R), por sua vez, engloba os números racionais e irracionais e tem como subconjuntos os naturais e os inteiros. Por último, o conjunto dos números complexos (C) é o maior deles e contempla as raízes quadradas de números negativos.
Características dos números inteiros
Os números inteiros negativos sempre são acompanhados pelo sinal de menos (-) e os números inteiros positivos podem vir ou não acompanhados pelo sinal de mais (+). Já o zero, não é positivo nem negativo, mas sim um número neutro.
Todo número possui um antecessor (número que vem antes dele) e um sucessor (número que vem depois dele). Veja abaixo alguns casos:
- Número 3: antecessor 2 e sucessor 3;
- Número 1: antecessor 0 e sucessor 2;
- Número -2: antecessor -1 e sucessor 0;
- Número -4: antecessor -5 e sucessor -3.
Os números inteiros (exceto do zero) possuem uma relação de simetria ou oposição. Isso é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância do ponto de origem, que é zero. Veja abaixo alguns exemplos:
- O oposto de 3 é -3;
- O oposto de 2 é -2;
- O oposto de 1 é -1;
- O oposto de 100 é -100.
Outra característica dos números inteiros é o módulo ou valor absoluto, indicado pelo uso de duas barras (||). Geometricamente, o módulo de um número corresponde à distância dele até o ponto de origem (zero) na reta numérica inteira. Veja abaixo alguns exemplos:
- |0| = 0;
- |1| = 1;
- |-2| = 2;
- |-3| = 3.
Subconjuntos
O conjunto dos números inteiros é subdivido em:
- Z*: conjuntos dos inteiros, exceto o zero. Z* = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, …};
- Z+: conjuntos dos inteiros positivos. Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …};
- Z- = conjuntos dos inteiros negativos. Z– = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0};
- Z*+ = conjuntos dos inteiros positivos, exceto o zero. Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, …};
- Z*- = conjuntos dos inteiros negativos, exceto o zero. Z*- = {…, -5, -4, -3, -2, -1};
- O conjunto dos números naturais (N) é considerado um subconjunto de Z, pois está contido no conjunto dos números inteiros.
Representação na reta numérica
Os números inteiros podem ser representados por pontos em reta numérica, onde distância entre dois números consecutivos é sempre a mesma. Também já sabemos, que os números que estão a uma mesma distância da origem são chamados de simétricos ou opostos.
Operações com números inteiros
- Adição ou subtração: as parcelas são somadas os subtraídas, observando as regras:
sinais iguais -->soma e conserva o sinal; sinais diferentes --> subtrai e conserva o sinal do número maior.
Exemplos:
2 + 5 = 7
10 + 22 = 32
3 – 4 = -1
– 15 + 20 = 5
- Multiplicação e divisão: na presença de parênteses, um jogo de sinais deve ser realizado para efetuar a operação:
+ ( + ) = +; + ( – ) = – ; – ( + ) = – e – ( – ) = +.
Exemplos:
(- 4) . (- 10) = 40
(- 20) : (- 2) = 10
(– 12) . (2) = – 24
(100) : (– 2) = – 50