As operações com conjuntos são: união, intersecção, diferença e complementar. Na matemática, uma operação corresponde a um tipo de procedimento que é realizado com certa quantidade de elementos e que obedecem regras.
Define-se como conjuntos, uma coleção ou um grupo de elementos (números, letras, símbolos, etc.), em que é estabelecida uma relação de pertinência. Quando um elemento x faz parte do conjunto Z, dizemos que x pertence à Z.
O nome de um conjunto sempre é dado por uma letra maiúscula. Enquanto os elementos, que podem ser finitos ou infinitos, devem ser listados entre um par de chaves, separados por vírgula ou ponto e vírgula, de acordo com a necessidade.
Confira alguns tipos de conjunto de números:
- Conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}
- Conjunto do números inteiros: Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
- Conjunto dos números primos: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…}
Existem também conjuntos formados por elementos não numéricos:
- Conjuntos de letras do alfabeto: L = {a, b, c, d, e, f, g, h … x, y e z}
- Conjunto de cores primárias: C = {vermelho, amarelo e azul}
- Conjunto de países: P = {Brasil, México, Chile, Portugal, China, Jamaica…}
Representação de conjuntos
A nomeação dos elementos, utilizada nos exemplos anteriores, é uma das várias formas de representar os conjuntos, mas outros dois modos são utilizados com frequência:
Por compreensão – nessa forma de representação é enunciada uma propriedade característica comum aos elementos. Exemplo:
B = {meses do ano}
Por diagrama – um dos modelos mais utilizados é o diagrama de Venn, que leva o nome do seu criador: John Venn, um matemático e filósofo britânico do século XIX. Os diagramas são feitos a partir de coleções de curvas fechadas contidas em um plano, no interior das curvas estão os elementos. Exemplo:
Conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Operações com conjuntos
Na Teoria dos Conjuntos, alguns símbolos são utilizados para indicar a relação entre os elementos nas operações com conjuntos. Confira nas tabelas abaixo os principais símbolos:
União de conjuntos
Essa é uma das mais básicas operações com conjuntos, que consiste na união de dois conjuntos dados. Se um ou mais elementos se repetem nos conjuntos, ele aparecerá uma única vez no conjunto união. A união é representada por:
A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplo:
Dados os conjuntos M = {0,1,2,3} e N {3,4,5 e 6}, o conjunto união é M U N = {0,1, 2, 3, 4, 5 e 6}.
Intersecção de conjuntos
Essa operação refere-se aos elementos que se repetem nos conjuntos dados. No caso dos dois conjuntos A e B, a intersecção de A com B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B ao mesmo tempo. A interseção é representada por:
A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A e x ∈ B}
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} e B = {8, 9, 10, 11, 12}, o conjunto interseção é A ∩ B = {9, 11}.
Diferença entre conjuntos
A diferença de conjuntos indica os elementos de um conjunto que não estão presentes no outro conjunto. No caso dos conjuntos A e B, o conjunto diferença é representado por:
A − B = {x ∈ U | x ∈ A e x ∉ B}
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 4, 6}, os conjuntos diferença são B – A = {6}
A – B = {2, 3}.
Conjunto complementar
Esse é um caso especifico das operações com conjuntos e está relacionado com a diferença entre conjuntos. No caso do conjunto B, sendo que B está contido em A (B ⊂ A), a diferença A – B é igual ao complemento de B, representado por:
CBA = { x / x ∈ B ∧ x ∉ A }
Essa operação acontece em partes. Primeiro devemos encontrar a diferença, identificando quais elementos pertencem ao conjunto A e que também aparecem ao conjunto B.
Exemplo:
A = {0, 1 ,2} e o conjunto B = {0, 1, 2, 5, 6}, o conjunto complementar é B-A = {5,6}