Potenciação, também chamada de exponenciação, corresponde a multiplicação de sequências com fatores iguais. Ou seja, multiplica-se um determinado número por ele mesmo sucessivas vezes.
Para cada número real (a) e outro natural (n) – sendo n maior que 1 – define-se de potência a base a, e de expoente o número de n. Sendo assim, a formação é dada por:
an = a.a.a.a…a
Para entender melhor a potenciação, vejamos o exemplo:
34 = 3.3.3.3 = 81
Sendo,
3: base
4: expoente
81: potência (quociente da multiplicação sucessiva)
Na demonstração acima, lê-se três elevado à quarta potência ou a quarta potência de três.
Alguns números são identificados como quadrados perfeitos, pois são o resultado da multiplicação de dois elementos iguais e de uma raiz quadrada exata. Os números naturais 4,36 e 144 são exemplos dessa categoria, já que 22 = 4; 62 = 36; e 122 = 144.
Tipos de Potenciação
Como já vimos, a potenciação é uma forma de abreviação da quantidade de vezes que um certo número é multiplicado. A partir dessa definição inicial, vamos conhecer as categorias da potência.
Expoente positivo e inteiro
Quando m e n são números que pertencem ao grupo dos naturais (N), e a e b ao conjunto dos reais (R ), temos:
am = a.a.a…a
53 = 5.5.5 = 125
72 = 7.7 = 49
Expoente igual a 1
Todas as potências com expoentes 1 resultam no valor da própria base. Ou seja:
a1 = a
81 = 8
141 = 14
Expoente igual a zero
Todas as potências com expoentes iguais a zero serão iguais a 1.
a0 = 1
200 = 1
Expoente negativo
As potências com expoente negativo são o inverso das que possuem expoente positivo. Isto é:
Além desses, existem casos específicos de potenciação. São eles:
a = 0 e n > 0: an = 0
a = 0 e n < 0: não existe an ∈ R
a > 0: an > 0
a < 0 e n par: an > 0
a < 0 e n ímpar: an < 0
Características da potenciação
Considerando as bases a e b, e os expoentes m e n, temos as seguintes propriedades:
Caso a base de uma potência seja negativa e seu expoente um número ímpar, o resultado será negativo: (- 3)3 = (-3). (-3).(-3) = – 27.
Caso a base seja negativa e o expoente um valor par, o resultado será positivo: (-11)2 = (-11). (-11) = 121.
Em frações o numerador e denominador são elevados ao expoente: (2/7)4 = (24/ 74) = 16/2401.
Potências de base 10 o resultado é o número 1 mais a quantidade de zeros de acordo com o expoente:106 = 1000000.
Operações com potências
É importante saber as operações matemáticas envolvendo potências. Entenda cada uma delas.
Na multiplicação de potências com bases iguais é necessário conservar as bases e somar os expoentes:
am. an = am+n
23. 25 = 23+5 = 28 = 256
Na divisão de potências com mesma base, conserva-se as bases e subtrai-se os expoentes:
am / an = am-n
55 / 53 = 55-3 = 52 = 25
Em potência de potência (base elevada a duas potências), conserva-se as bases e multiplica-se os expoentes:
(am)n = am.n
(32)4 = 32.4 = 38 = 6561
Em potências de produtos, deve-se elevar cada base ao valor do expoente:
(a . b)n = (an . bn)
(1 . 6)2 = (12. 62) = 1.36 = 36
Na multiplicação de bases diferentes, porém elevadas ao mesmo valor de expoente, conserva-se os expoentes e multiplica-se as bases:
(an . bn) = (a . b)n
(32. 52) = (3. 5)2 = 152 = 225
Na multiplicação de bases iguais, elevadas a expoentes de valores e sinais diferentes, conserva-se as bases e soma- se os expoentes:
(a-m. am) = a (-m) + n
25. 2-3 = 25+(-3) = 22 = 4
Em potência de potência, cujo os sinais dos expoentes são diferentes, conserva-se as bases e multiplica-se os expoentes:
(am)-n = am. (-n)
(42)-1 = 42.(-1) = 4-2 = (1/4)2 = 1/16
Quando as potências possuem expoentes fracionários deve-se transformá-las em raiz quadrada, no qual o os numeradores e denominadores dos expoentes serão os índices e radicando:
Já quando a base da potência é uma raiz o expoente da potenciação passa a ser do radicando: