A probabilidade condicional é quando um evento depende de outro para acontecer. Ou seja, um evento A só acontece se já tiver ocorrido B. Esse assunto é um ramo da probabilidade e envolve conceitos como evento e espaço amostral.
Apesar das pessoas não perceberem, esse assunto está muito presente em matérias jornalísticas da área de saúde quando, por exemplo, fala sobre grupos de riscos de uma doença.
Espaço amostral
O espaço amostral é o conjunto de resultados que um evento pode ter. Assim, se um dado for jogado para cima terá seis resultados possíveis. O espaço amostral então será formado por (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Eventos
O evento é uma subdivisão do espaço amostral, ou seja, é cada um dos resultados possíveis de certo acontecimento. Conceitualmente os eventos podem ser classificados de seis formas distintas. São elas:
• Simples: são os eventos formados por um único número do espaço amostral. A = {5} representa um evento simples de um dado lançado em que o resultado é divisível por 5.
• Impossível: representa eventos que são impossíveis de acontecer. Por exemplo, em um bingo é nula a possibilidade do número 120 sair.
• União: é quando o leque de resultados de um evento acontecer é ampliado. Por exemplo, ao jogar um dado para cima, qual a possibilidade de cair o número 2 ou 5?
• Interseção: é quando há a exigência de aconteceram dois eventos simultâneos, por exemplo, ao jogar o dado duas vezes qual a probabilidade de o resultado ser 6 em ambas?
• Mutuamente exclusivos: quando um evento não possui elementos comuns ou quando não existe um resultado possível para ambos. Ou seja, quando um dado é jogado apenas uma vez para cima, não há a possibilidade de cair o número seis duas vezes.
• Complementar: é quando um evento complementa outro. O evento A = {1, 3, 5} complementa B = {2, 4, 6}.
Experimento aleatório
São eventos aleatórios que ocorrem em condições semelhantes e normais. Esses acontecimentos vão apresentar resultados diferentes ou até iguais em cada uma dos episódios. Se certo dado não estiver em condições normais, apontando sempre para a mesma face, então esse dado estará viciado e sempre alterará o resultado final.
Fórmula da probabilidade condicional
A probabilidade condicional é utilizada, por exemplo, para calcular a incidência de doenças em certo grupo de pessoas ou até identificar fatores de risco. A fórmula utilizada para isso é a seguinte:
Onde,
P(A/B): é a probabilidade do evento A acontecer depois do evento B já ter ocorrido;
P(A∩B): probabilidade de A em interseção com B;
P(B): probabilidade de B.
Exemplo:
Uma empresa realizou uma pesquisa de mercado para saber quantas pessoas consumiram seu produto no último mês. Após análise constatou que:
- 60 compraram o produto A;
- 50 compraram o produto B;
- 20 compraram os dois produtos.
Com essas informações vamos calcular qual a probabilidade de encontrarmos uma das pessoas desse grupo que compraram o produto A e B ao mesmo tempo.
Se 60 pessoas que compraram A e 20 usam os dois produtos, então, 40 utilizam apenas A. No entanto, entre as 50 pessoas que compraram B, 30 levaram apenas ele para casa.
Para calcular P(A∩B), divide-se o número de opções que atendem aos dois produtos pelo número total do espaço amostral. Então: são 20 pessoas de um total de 90, que são:
40 que compraram apenas A;
30 levaram apenas B;
20 que compraram ambos.
Assim, eu tenho que P(A∩B) = 20/90 ou, reduzindo, 2/9.
Já que P(B) são as pessoas que compraram A, então são 60 entre 90. Ou seja, P(B) = 60/90 ou 6/9.
Pode-se agora usar a forma de probabilidade condicional para calcular P(A|B). Assim:
P (A|B) = P(A∩B) / P(B)
P(A|B) = (2/9) / (6/9)
P(A|B) = 2/6 = 1/3
Resposta: A probabilidade de encontrarmos uma pessoa que comprou o produto A e B ao mesmo tempo é de 1/3.
Caso seja necessário ainda é possível usar a fórmula da probabilidade de intercessão entre dois eventos para conhecer as chances de dois eventos acontecerem simultaneamente. Então é possível usar a seguinte fórmula:
P(A∩B) = P(A | B) x P(B)
Neste caso,
P(A∩B): é a probabilidade de A e B aconteceram simultaneamente;
P(A): probabilidade de ocorrer o evento A;
P(B|A): probabilidade de ocorrer B sabendo que já ocorreu A.