Progressão Geométrica (PG) é uma continuidade numérica dada pela razão (q) entre um número e outro, menos o primeiro. Em outras palavras:
(a1, a2, a3, a4, …, an)
Uma progressão geométrica também é feita pela multiplicação da própria razão (q), sendo o resultado o próximo número da sequência. Entenda nos exemplos:
PG: (2,4,8,16,32,64, …)
Neste caso, pode-se observar que o número que determina seu consecutivo é o dois, ou seja, a sequência do exemplo acima é um PG de razão igual a dois (q = 2).
Na PG (5, 25, 125, 625, …) a razão é 5 (q = 5), pois 5 x 5 = 25; 25 x 5 = 125; 125 x 5 = 625 e assim sucessivamente. A razão de uma progressão geométrica sempre será constante e racional (números positivos, negativos e frações), exceto o valor de zero.
Tipos de Progressões Geométricas
A depender dos valores da razão, as progressões podem ser classificadas das seguintes maneiras:
PG crescente
Na progressão crescente a razão é maior que zero (q > 0) e composta por termos crescentes:
PG: (5,15,45,135,405, …) no qual q = 3
PG decrescente
Na decrescente, a razão é maior ou diferente de zero e composta por termos em forma decrescente, isto é, os valores da sequência sempre serão menores que seus antecessores:
PG : (- 4, -16,- 64, – 256…) no qual q = 4
PG constante
Na constante, a razão sempre será igual a 1.
(6,6,6,6,6…) no qual q = 1
PG oscilante
Na oscilante, a razão sempre será negativa e a sequência alternará entre termos positivos ou negativos:
PG:(2, -4, 8, -16, 32, 64…) no qual q = – 2
PG quase nula
Nessa progressão geométrica somente um elemento da sequência será diferente de zero:
PG: (2,0,0,0,0, 0…)
Outro tipo de série numérica é a progressão aritmética. Nessa categoria, cada termo é dado pela soma do número anterior, resultando na razão (r).
Termo Geral
Para determinar os valores da progressão geométrica, aplica-se a fórmula:
Sendo:
an: valor desconhecido
a1: primeiro número da sequência geométrica
q: razão elevada ao número desconhecido menos 1
No exemplo a seguir vamos encontrar o 30° termo da progressão geométrica com q = 2 e de sequência inicial 6.
PG: (6,12, 24, 48, 96,192…)
Vejamos outra aplicação:
Sabendo que a = 4 e q = 3, vamos encontrar o 5° termo da progressão:
PG: (4, 12, 36,108…)
Soma dos Termos
Pode-se também realizar a soma dos valores presentes em uma progressão geométrica finita ou infinita a partir da fórmula:
Sendo:
Sn: Soma dos valores da PG
a1: primeiro termo da sequência geométrica
q: razão
n: número de termos da PG
Dessa maneira, para calcular a soma dos 7 primeiros termos da PG: (25, 125, 625…):
a1 = 25 ; q = 5 ; n = 7
Já para somar os termos de uma progressão infinita, quando a razão q for entre os valores -1 e 1 ( -1 < q < 1), tem-se a seguinte fórmula:
Sendo assim, a soma dos termos de uma PG infinita (1, 1/3, 1/9,…) é:
a1 = 1; q = 1/3
Além das somas, é possível determinar o produto dos termos de uma progressão. Para isso, basta utilizar a fórmula:
Sendo:
Pn: produto dos valores da PG.
n: quantidade de termos
a1: primeiro termo da sequência geométrica