Radiciação é o método oposto à potenciação. Enquanto a operação com potências é dada pela multiplicação de termos iguais sucessivas vezes, a radiação buscar encontrar quais são esses termos.
Em uma potência 9², por exemplo, temos: 9² = 9.9 = 81. Neste caso, dizemos que a raiz quadrada de 81 é igual a 9. Ou seja, um número que foi multiplicado por ele mesmo duas vezes resultou em 81.
A estrutura de uma raiz é:
Preste atenção! Quando o radicando é negativo e o índice um número par, não existe solução para essa raiz dentro do conjunto dos números reais.
Propriedades da radiciação
Caso o radical apresente o índice igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz será igual à base do radicando:
Essa propriedade é válida sempre que o índice for um número natural e o radicando positivo. Além disso, quando o radicando for negativo e o índice ímpar.
A multiplicação ou divisão do índice e expoente do radicando pelo mesmo número não interfere na raiz:
No entanto, os valores de a, m, n e p devem ser maiores que 1, sendo o q divisor de m e n.
Na simplificação da raiz de uma raiz, deve-se multiplicar seus índices:
A multiplicação de radicais com mesmo índice é igual ao produto dos radicandos:
Essa propriedade é possível quando o índice é maior que 1 e os radicandos números reais. Caso os radicandos sejam maiores ou iguais a zero, é preciso que o índice seja par.
A divisão de radicais com mesmo índice é igual ao quociente dos radicandos:
A propriedade é válida quando n é maior que 1 e os radicandos números reais, sendo a maior que zero e b maior que 1.
Simplificação de radicais
Para facilitar os cálculos de radiciação, é possível simplificar os seus radicais. Vejamos a seguir como é feito.
Dado a raiz cúbico de 216, teremos:
1° passo: realize a decomposição dos fatores primos
216 | 2
108 | 2
54 | 2
27 | 3
9 | 3
3 | 3
1
2° passo: coloque o resultado em formato de potência
216 = 2.2.2.3.3.3 = 2³. 3³
3° passo: coloque a potência encontrada no radical e aplique as propriedades da radiciação
Operações com radicais
O método mais comum para calcular a radiação é a fatoração/decomposição de números primos. Vamos conferir como funciona as operações matemáticas básicas:
Soma e subtração
Na soma e subtração é necessário identificar se os índices e radicandos são iguais ou diferentes.
10 6√ 3 + 55 6√ 3 = 65 6√ 3
100 5√13 – 43 5√13 = 57 5√13
Com os radicais diferentes aplica-se o método da simplificação:
2√3 + 5 √12 =
2√3 + 5 √ (2.2.3) =
2√3 + 5 √ 2². 3 =
2√3 + 5 √2². √3 =
2√3 + 5 . 2 √3 =
2√3 + (5.2) √3 =
2√3 + 10 √3 = 12√3
Multiplicação e divisão
Na multiplicação e divisão de radicais deve-se manter a raiz e efetuar as operações com os radicandos:
3√ 9 . 3√ 4 = 3√(9 .4) = 3√36
5√ 120 : 5√ 30 = 5√ (120 : 30) = 5√4
Já com os radicais de índices diferentes deve- se igualá-los:
3√7 . √ 3 =
3×2√ 71×2 . 2×3√ 31×3 =
6√ 49 . 6√ 27 = 6√ 1323
3√ 4: 5√ 2 =
3×5√ 41×5 : 5×3√2 1×3 =
15√ (1024 : 8) = 15√ 128