A raiz quadrada é uma operação matemática em que o número positivo n elevado ao quadrado (multiplicado por ele mesmo) é igual a x. Tal expressão é escrita da seguinte forma: √n = x, que equivale a n² = x.
Ainda não entendeu? Observe os exemplos abaixo:
- √5 = 2.236… (raiz quadrada não exata)
- √9 = 3, já que 3² = 9
- √36 = 6, já que 6² = 36
Com base nos exemplos anteriores, ao buscar a raiz quadrada de 9, pretendemos descobrir qual é o número que, multiplicado por ele mesmo, resulta em 9. O resultado que encontramos foi 3, pois 3² = 9.
Radiciação
Na operação da raiz quadrada há o símbolo √, chamado de radical, que tem um origem especulativa. Acredita-se que tal símbolo foi usado inicialmente pelos árabes como uma derivação da letra ج. Outros acreditam que o símbolo origina-se da letra r, primeira letra da palavra latina radix.
A radiciação refere-se ao processo de extrair raízes de um número. Dentro desse assunto, as operações mais conhecidas são raiz quadrada (√n = x) e raiz cúbica (³√n = x).
A nomenclatura em radiciação é dada da seguinte forma:
- Se o índice for 2, chamamos de raiz quadrada (mas não é necessário colocar o índice);
- Se o índice for 3, chamamos de raiz cúbica;
- Se o índice for 4, chamamos de raiz quarta;
- Se o índice for 5, chamamos de raiz quinta.
As propriedades da radiciação servem para solucionar problemas que envolvem raízes. Confira as principais:
1ª propriedade: se o radical tiver índice igual ao expoente do radicando, a raiz será igual à base do radicando;
2ª propriedade: a raiz não sofre alteração se for multiplicado ou dividido o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo valor;
3ª propriedade: o produto de radicais com o mesmo índice é igual ao produto de radicandos;
4ª propriedade: o quociente de radicais com o mesmo índice é igual ao quociente de radicandos;
Como calcular a raiz quadrada
Algumas raízes quadradas já estão fixadas na cabeça de muita gente, por exemplo: √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4. Um método utilizado para identificar uma raiz é por tentativa e erro. Isso mesmo! Uma das alternativas é multiplicar vários números até encontrar a resposta correta.
Sabendo que √100 = 10, vamos encontrar o resultado da √196. O primeiro passo, é fazer a multiplicação dos números próximos à raiz quadrada de 10:
11 x 11 = 121
12 x 12 = 144
13 x 13 = 169
14 x 14 = 196
Esse método de tentativa e erro é eficaz para números pequenos, em outros casos o indicado é fazer a fatoração, que consiste na decomposição de um número em fatores primos.
Não lembra como fazer a fatoração? É só consultar o artigo de números primos!
Vamos encontrar a raiz quadrada do número 256 através da decomposição do número:
Obtermos o seguinte resultado:
Tipos de raízes quadradas
Já é sabido que a raiz quadrada corresponde a multiplicação de um número por ele mesmo. Por exemplo: √4 = 2. A raiz é um número inteiro, sendo denominada de quadrado perfeito ou raiz quadrada exata.
Observe abaixo a tabela com quadrados perfeitos:
| √1 = 1 | √36 = 6 | √121 = 11 | √256 = 16 | √900 = 30 | √6400 = 80 |
| √4 = 2 | √49 = 7 | √144 = 12 | √289 = 17 | √1600 = 40 | √8100 = 90 |
| √9 = 3 | √64 = 8 | √169 = 13 | √324 = 18 | √2500 = 50 | √10.000 = 100 |
| √16 = 4 | √81 = 9 | √196 = 14 | √361 = 19 | √3600 = 60 | √ 12.100 = 110 |
| √25 = 5 | √100 = 10 | √225 = 15 | √400 = 20 | √4900 = 70 | √14.400 = 120 |
Contudo, quando a raiz não é o número inteiro, ela é denominada de quadrado imperfeito ou raiz quadrada não exata. Todos os números com essa característica pertencem ao conjunto dos números irracionais e, por isso, todas as raízes são decimais infinitos.
No caso dos quadrados imperfeitos, o cálculo da raiz é realizado a partir da projeção entre os quadrados perfeitos em que o número se encontra. Nesse método por aproximação deve-se adicionar uma casa decimal na multiplicação, por exemplo:
Vamos calcular a √54, sabendo que os quadrados perfeitos mais próximos são √49 = 7 e √64 = 8:
7,1 x 7,1 = 50,41
7,2 x 7,2 = 51,84
7,3 x 7,3 = 53,29
7,4 x 7,4 = 54,76
Sendo assim, a raiz aproximada de 54 é 5,29.
Outra forma de calcular raízes não exatas é por meio da fatoração do número, seguida pela simplificação dos radicais. Observe o exemplo do cálculo da √512:
Através das simplificações obtemos o resultado: