As relações trigonométricas, também chamadas de identidades trigonométricas, correspondem às relações existentes entre os valores das funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente) de um mesmo arco.
Observe o triângulo abaixo, nele podemos perceber as razões trigonométricas sen θ, cos θ e tg θ:
Logo,
sen θ = b/a
cos θ = c/a
tg θ = b/c
Trigonometria do triângulo retângulo
Ao falar de trigonometria remetemos de imediato ao triângulo, isso porque esse termo deriva das palavras gregas “trigōnon” (triângulo) + “metron” (medida). O foco dessa área é o triângulo retângulo – polígonos com um ângulo reto (90°) e dois ângulos agudos (menores que 90°).
O triângulo retângulo possui três lados:
- Hipotenusa: lado maior e oposto ao ângulo de 90°;
- Cateto adjacente: lado próximo ao ângulo de 90°;
- Cateto oposto: lado contrário ao ângulo de 90°.
As possíveis divisões entre as medidas dos dois lados da figura são denominadas de razões trigonométricas, cujas três principais são:
- Seno (sen) = cateto oposto/hipotenusa
- Cosseno (Cos) = cateto adjacente/hipotenusa
- Tangente (Tg) = cateto oposto/cateto adjacente
Círculo trigonométrico
As razões trigonométricas podem ser representadas graficamente no círculo trigonométrico, também denominado como ciclo ou circunferência trigonométrica. Ele corresponde a circunferência com raio igual a 1(um).
Essa circunferência, ao ser dividida igualmente em quatro partes, forma quatro quadrantes: 1° quadrante no ângulo 0°; 2° quadrante no ângulo 90°; 3° quadrante no ângulo de 180/ e 4° quadrante no ângulo de 270°.
O círculo trigonométrico é simétrico. Em função dessa simetria, no eixo vertical está o seno e o eixo horizontal o cosseno. Cada ponto do círculo está associado aos valores dos ângulos.
No círculo trigonométrico as medidas dos ângulos podem aparecer em graus ou em radianos, pois são proporcionais. Os valores de 0° e 360° são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.
Veja abaixo algumas relações entre graus e radianos:
- π rad = 180°
- 2π rad = 360°
- π/2 rad = 90°
- π/3 rad = 60°
- π/4 rad = 45°
Relações trigonométricas no círculo trigonométrico
A partir do círculo trigonométrico são obtidas as funções angulares, ou seja, as funções trigonométricas. Para entender esse conceito, considere um número real x e um ponto P do círculo trigonométrico.
Esse ponto é associado a um único valor para as funções trigonométricas seno e cosseno, que serão denominadas de sen(x) e cos(x).
Logo,
- sen (x): é a ordenada de P
- cos (x): é a abscissa de P
- Tg (x): sen(x)/cos(x)
Como já dito, o raio da circunferência corresponde a 1, então todos os pontos da circunferência trigonométrica estão a essa mesma distância da origem. O uso Teorema de Pitágoras resulta na relação trigonométrica fundamental abaixo:
sen² (x) + cos² (x) = 1
A partir de seno e cosseno é possível obter a tangente e em outras funções trigonométricas: cotangente (cot), secante (sec) e cossecante (cossec), estas últimas consideradas inversas às funções básicas. Logo:
A cotangente é o inverso da tangente:
cotg (x) = 1/tg (x) ou cos (x)/sen (x)
A secante é o inverso do cosseno:
sec (x) = 1/cos (x)
A cossecante é o inverso do seno:
cossec (x) = 1/sen (x)
Relações trigonométricas derivadas ou decorrentes
A partir da relação fundamental sen² (x) + cos² (x) = 1, podemos obter outras relações trigonométricas que são chamadas de derivadas.
a) Divisão por cos² x
sen² (x)/cos² (x) + cos² (x)/ cos² (x) = 1/cos² (x)
Sendo,
tg² (x) = sen² (x)/cos² (x) e sec² (x) = 1/ cos² (x)
Ao fazer a substituição temos,
tg² (x) + 1 = sec² (x)
b) Divisão por sen² (x)
sen² (x)/sen² (x) + cos² (x)/sen² (x) = 1/sen² (x)
Sendo,
cos² (x)/sen² (x) = cotg² (x) e 1/sen² (x) = cossec² (x)
Ao fazer a substituição temos,
1 + cotg² (x) = cossec² (x)
Relações trigonométricas (operações)
Veja abaixo outros casos de relações trigonométricas que envolvem operações matemáticas:
1) Seno, cosseno e tangente da soma
sen(a + b) = sen(a). cos(b) + sen(b). cos(a)
cos(a + b) = cos a). cos(b) – sen(a). sen(b)
tg(a + b) = tg(a) + tg(b)/ 1 – tg(a). tg(b)
2) Seno, cosseno e tangente da diferença
sen(a – b) = sen(a). cos(b) – sen(b). cos(a)
cos(a – b) = cos(a). cos(b) + sen(a). sen(b)
tg(a – b) = tg(a) – tg(b)/ 1 + tg(a). tg(b)
3) Soma de seno, cosseno e tangente
Sen(a) + sen(b) = 2sen (a + b/ 2). cos (a – b/ 2)
Cos(a) + cos(b) = 2cos (a + b/ 2). Cos(a – b/ 2)
Tg(a) + tg(b) = [sen(a + b)/ cos(a). cos(b)]
3) Subtração de seno, cosseno e tangente
Sen(a) – sen(b) = 2sen (a – b/ 2). cos (a + b/ 2)
Cos(a) – cos(b) = -2sen (a + b/ 2). sen(a – b/ 2)
Tg(a) – tg(b) = [sen(a – b)/ cos(a). cos(b)]