Soma e produto é o método para determinar as raízes de uma equação de segundo grau sem precisar aplicar a Fórmula de Bhaskara.
É adequado para os resultados que são números inteiros, pois na equação de segundo grau o coeficiente quadrático, linear e constante pertencem ao conjunto dos reais.
A resolução da Fórmula de Bhaskara na formação ax² +bx +c é possível quando acontece as seguintes alternativas:
- Duas raízes reais e diferentes (∆ > 0);
- Uma raiz real e distinta (∆ = 0);
- Raiz real inexistente (∆ < 0).
Dada a confirmação de que as raízes são reais, podemos utilizar o cálculo da soma e produto, tonando mais fácil o processo. Ou seja:
- Soma: x1 + x2 = – b/a
- Produto: x1. x2 = c/a
Soma e produto: como encontrar as raízes
Agora que sabemos as fórmulas, vamos entender no exemplo como funciona. Confira:
Seja a equação x² + 4x – 21 = 0, teremos:
1° Passo: Separe os coeficientes da equação
a = 1
b = 4
c = – 21
2° Passo: Efetue as operações de soma e produto:
x1 + x2 = – b/a = – 4 / 1 = – 4
x1. x2 = c/a = – 21/ 1 = – 21
3° Passo: Encontre os valores que satisfaçam as relações entre as raízes, ou seja, os números que a soma seja igual a – 4 e o produto o mesmo que – 21.
Sabe-se que:
3. 7 = 21
1. 21 = 21
3. (-7) = – 21
Dos números indicados acima, dois servem para a soma, já que 3 + (- 7) = – 4. Logo, as raízes que compõem o conjunto solução dessa equação é S = {- 7, 3}.
Para conferir se os valores encontrados estão corretos, basta substituí-los na equação:
x² + 4x – 21 = 0
(- 7)² + 4. (- 7) – 21 = 49 – 28 – 21 = 49 – 49 = 0
3² + 4.3 – 21 = 9 + 12 – 21 = 21 – 21 = 0
Fique atento!
Essa técnica serve apenas para os casos em que o coeficiente quadrático (a) é igual a 1.
Aplicação
a. Dada a equação x² + 2x – 15 = 0, temos:
a = 1; b = 2 e c = – 15
x1 + x2 = – b/a = – 2/1 = – 2
x1. x2 = c/a = – 15/1 = – 15
Em seguida, temos que descobrir os valores que multiplicados sejam iguais a – 15, e somados apresente – 2 como resultado.
1. (-15) = 15
3. (- 5) = – 15
Dos números testados, dois cabem na soma, pois 3 + (- 5) = – 2. Portanto, o conjunto solução é S = {- 5, 3}. Vamos testar?
x² + 2x – 15 = 0
(- 5)² + 2. (- 5) – 15 = 25 – 10 – 15 = 15 – 15 = 0
(3)² + 2.3 – 15 = 9 + 6 – 15 = 15 – 15 = 0
b. Confira no exemplo x² – 9x + 20 = 0:
a = 1; b = – 9 e c = 20
x1 + x2 = – b/a = – (- 9/1) = 9
x1. x2 = c/a = 20/1 = 20
Assim, precisamos definir os valores que tenham a soma igual a 9 e produto o mesmo que 20.
1. 20 = 20
2.10 = 20
4.5 = 20
As duas possibilidades que satisfazem a soma é 4 e 5, já que 4+ 5 = 9. Desse modo, o conjunto verdade dessa equação é S = {4, 5}. Vamos conferir?
x² – 9x + 20 = 0
(4)² – 9.(4) + 20 = 16 – 36 + 20 = 36 – 36 = 0
(5)² – 9.(5) + 20 = 25 – 45 + 20 = 45 – 45 = 0