O Teorema de Pitágoras é uma das teorias mais aplicadas pela matemática, especialmente na resolução de problemas da Geometria e Trigonometria.
O teorema refere-se, especificamente, aos lados do triângulo retângulo – figura geométrica plana formada por um ângulo reto (90°) e outros dois ângulos agudos (menores que 90°).
Seu enunciado diz que “a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado da hipotenusa.” Ou seja:
a² = b² + c²
Propriedades do Teorema de Pitágoras
Como vimos acima, o Teorema de Pitágoras cita os lados do triângulo retângulo: hipotenusa e catetos.
A hipotenusa possui o maior lado do triângulo retângulo, sendo ele oposto ao ângulo de 90° (reto). Já os catetos formam o ângulo de referência e são divididos em oposto e adjacente.
Quando o lado aparece perto do ângulo reto é identificado como adjacente; mas se estiver em sentido contrário, é chamado de oposto.
Trio Pitagórico
No momento que o tamanho dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros e positivos, essa figura plana é classificada de triângulo pitagórico.
Nesta situação, os catetos e hipotenusa são chamados de “terno pitagórico” ou “trio pitagórico”. Para comprovar se as medidas formam o terno, basta aplicar a fórmula do próprio teorema.
A sequência numérica 3,4 e 5, por exemplo, é um dos ternos pitagóricos mais conhecidos. Entenda no exemplo:
a² = b² + c²
Substituindo:
52 = 42 + 32
5.5 = (3 . 3) + (4 . 4)
25= 9 +16
25=25
Por ser o maior lado do triângulo retângulo, o número 5, neste caso, é a hipotenusa. Já o cateto adjacente é o 4, e o oposto o número 3. Esse trio é denominado de primitivo, pois, a partir deles, foram gerados novos ternos.
O teste pode ser feito pela multiplicação dos termos por números naturais. Sendo assim, se escolhermos multiplicá-los por 3, iremos obter o novo trio 9,12 e 15. O procedimento pode ser realizado em qualquer terno:
a² = b² + c²
Substituindo:
25² = 24² + 7²
25.25 = (24.24) + (7.7)
625 = 576 + 49
625= 625
Por isso, existe uma infinidade de ternos pitagóricos. Veja abaixo alguns deles:
- 6,8,10
- 11, 60, 61
- 12,35,37
- 13, 84, 85
- 20,21,29
- 16,63,65
Vale destacar que o 3,4 e 5 é o único trio formado por números consecutivos. Os demais são classificados de ternos primitivos raros – dois primeiros termos consecutivos ou sequências de números primos.
Teorema de Pitágoras e os Números Irracionais
O Teorema de Pitágoras falhou quando apareceu um triângulo retângulo de catetos iguais a 1. Dessa forma, não haveria valor racional para hipotenusa. A partir desse momento iniciou-se os estudos de uma nova categoria de números, os irracionais.
Eles são decimais, infinitos, não seguem sequências e não são representados pelas frações, pois são indivisíveis para os números inteiros. O primeiro racional descoberto foi a raiz de dois (1, 414213562373…) e o mais famoso é o número pi (3,14592653589793238...).
Aplicação
Veja como calcular o comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo da figura:
Como as medidas acima são dos catetos (20 e 35,), o outro comprimento indefinido é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). Aplicando o Teorema de Pitágoras, teremos:
Se a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 12 cm e um dos catetos mede 9 cm, a medida do outro cateto é:
Pode-se utilizar esse mesmo teorema no cálculo da diagonal de um quadrado e altura do triângulo equilátero – figura plana com todos os lados iguais.