O triângulo de Pascal é um triângulo numérico composto por números binomiais, os quais possuem diversas propriedades e relações. Esse triângulo é infinito e tem início a partir do número 0 (zero).
O triângulo pode sistematizar os coeficientes binomiais em forma de tabela. De modo que os coeficientes do mesmo numerador fiquem ordenados na mesma linha e os coeficientes do denominador na mesma coluna.
Um número binominal ou coeficiente binomial é composto por:
O número n é denominado numerador e o p denominador, além disso n e p são números naturais e n ≥ p.
Um número binominal é calculado a partir da seguinte expressão:
Onde,
- Cn,p: combinação simples com n elementos tomados p a p;
- n!: fatorial de um número n qualquer;
- p!: fatorial de um número k qualquer.
Não lembra como calcular o fatorial de um número? É fácil. Basta realizar a multiplicação de todos os antecessores do número fatorial até o 1. Por exemplo, 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120.
Obs.: por definição, 0! = 1 e 1! = 1. Para conhecer outras propriedades e especificidades de n! Acesse o artigo sobre fatorial.
Como construir um triângulo de Pascal
A construção do triângulo é fácil, como já dito, os numeradores ficam na mesma linha e os denominadores na mesma coluna, ambos se iniciam em 0 (zero). Observe abaixo:
Note que na quinta linha temos cinco números binomiais, todos eles com numerador igual a quatro. Assim como na terceira, todos os binominais possuem o número dois no denominador.
Em resumo, o numerador de todos os números binomiais de uma linha é o mesmo, bem como o denominador de todos os números binomiais de uma coluna é igual ao número da coluna.
As linhas do triângulo de Pascal possuem um número finito de elementos, que é igual o respectivo número da linha mais um. Tomemos como exemplo a quinta linha, ela contém o número quatro no numerador que somado a um é igual a cinco.
Veja a baixo o triângulo de Pascal com os números binomiais já resolvidos:
Para chegar na imagem acima, os números binominais foram calculados um a um. Observe os exemplo dos números destacados em azul e vermelho:
Existe também uma forma rápida de desenvolver o triângulo de Pascal. Veja no vídeo abaixo:
Propriedades do triângulo de Pascal
O triângulo de Pascal possui diversas propriedades relacionadas aos seus elementos. Confira algumas:
1ª propriedade – cada número do triângulo é o resultado da soma dos dois números que estão acima dele. Essa propriedade também é chamada de Relação de Stifel, expressa formalmente como:
Observe na demonstração abaixo como funciona essa propriedade:
2ª propriedade – denominada de Teorema das Linhas, de acordo com essa propriedade a soma de qualquer linha do triângulo de ordem n é igual a 2n:
Observe a demonstração abaixo:
3ª propriedade – o chamado Teorema das Colunas sustenta que a soma dos números binomiais de uma coluna no triângulo (a partir do primeiro elemento) tem como resultado o número binomial à direita da linha abaixo do último elemento somado.
Observe a demonstração abaixo:
Binômio de Newton
O Binômio de Newton é uma potência da forma (x + y)n, sendo que x e y são números reais e n é um número natural.
Esse binômio pode ser resolvido de uma forma simples, através da multiplicação dos fatos, caso os valores assumidos por n sejam pequenos, ou através da fórmula geral:
Esses dois temas relacionam-se, uma vez que, os coeficientes do Binômio de Newton equivalem aos números binomiais do triângulo de Pascal. Não ficou claro? Para entender esse conceito, vamos desenvolver o binômio (x + 2)3.
1 . x3 . 20 + 3 . x2 . 21 + 3 . x1 . 22 + 1 . x0 . 23
Alguns números estão em negrito, eles correspondem os da linha 3 do triângulo de Pascal, já que n = 3. Os demais números dessa linha são: 1 3 3 1.
O binômio resolvido tem como resultado:
x3 + 6x2 + 12x + 8, ou seja, uma equação de terceiro grau.