O triangulo retângulo é uma figura geométrica plana formada por um ângulo reto, isto é, um dos seus lados mede 90º, e outros dois ângulos agudos (menores que 90º).
Os dois ângulos agudos do triângulo retângulo também são complementares, pois a soma dos dois resulta em 90º.
Os estudos da figura fazem parte da geometria, mais especificamente a geometria plana, área da matemática que estuda as figuras planas, ou seja, figuras com duas dimensões.
Propriedades do Triângulo Retângulo
Um triângulo retângulo é composto por três lados específicos, que agem de acordo com a posição do ângulo reto.
Lados (L)
- Catetos: lados que formam o ângulo reto. Se o lado estiver perto do ângulo de referência (90º), é chamado de adjacente; já se tiver em sentindo contrário, é chamado de oposto. São representados pelas letras a e b.
- Hipotenusa: é o maior lado do triângulo retângulo, por ser oposto ao ângulo reto (90º). É representada pela letra h.
- Altura relativa à hipotenusa: distância entre a hipotenusa e o vértice oposto.
- Projeções dos catetos: divisão em duas partes da altura da hipotenusa.
Ângulos (Â)
Como já sabemos, um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois agudos complementares, sendo que a soma de todos deve ser igual a 180º.
Sendo assim, temos:
- C é o ângulo reto (90°)
- A e B são os ângulos agudos (menores que 90°)
Área (S)
Para calcular a área de um triângulo retângulo, divide-se por 2 o valor da multiplicação da base (b) pela altura (h).
A fórmula é:
A área do triângulo é sempre calculada em centímetro quadrado (cm²), metro quadrado (m²) ou quilômetro quadrado (Km²).
Perímetro (P)
O perímetro de uma forma geométrica plana é a soma de todos os seus lados. Ou seja:
P = L+L+L
ou
P = 3.L
O perímetro é sempre calculado em centímetro (cm), metro (m) ou quilômetro (km).
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
As relações métricas de um triângulo retângulo são as ligações entre os vários segmentos dentro desse tipo de triângulo. Por isso, podemos entender essas relações entre as medidas das seguintes formas:
- a: medida do lado oposto ao ângulo reto (hipotenusa)
- b e c: são os catetos
- h: altura da hipotenusa
- m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa
- n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa
Sendo assim, observamos:
O quadrado da altura da hipotenusa é igual ao resultado das projeções dos catetos:
h² = m.n
O quadrado de um cateto é igual ao resultado entre a sua projeção e a hipotenusa:
b² = a.m
c² = a.n
O resultado entre a hipotenusa e sua altura é igual ao resultado dos catetos:
a.h = b.c
O quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos:
a² = b² + c²
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é uma das fórmulas mais conhecidas da matemática, principalmente na resolução de questões da geometria plana, geometria espacial, geometria analítica e trigonometria.
O teorema serve para encontrar a medida dos lados de uma triângulo retângulo. A fórmula, como já vimos mais acima, é usada da seguinte forma:
a² (hipotenusa) = b² (cateto oposto) + c² (cateto adjacente)
Quando o comprimento dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros e positivos, é chamado de triângulo pitagórico.
Nessa classificação, os catetos e hipotenusas são chamados de “terno pitagórico” ou “trio pitagórico”. Para saber se as medidas dos três lados de um triângulo retângulo formam o terno, basta continuar usando a fórmula:
a² = b² + c²
Os números 3,4 e 5, por exemplo, são um dos trios pitagóricos mais conhecidos. Vejamos no exemplo:
a² = b² + c²
Substituindo:
5² = 4² + 3²
5 x 5 = (3 x 3) + (4 x 4)
25= 9 +16
25=25
Neste exemplo, a hipotenusa é o número 5 porque, como já sabemos, ela é o maior lado de um triângulo retângulo. O cateto maior é número 4 e o cateto menor o número 3.
Além disso, é possível notar que os múltiplos desses mesmos números também formam um novo terno pitagórico. Então, se multiplicarmos por 3 os números 3,4 e 5, obtemos os resultados 9,12 e 15. Vamos testar se realmente eles compõem outro trio.
a² = b² + c²
Substituindo:
15²=12² + 9²
15 x 15 = (12 x 12) + (9 x 9)
225 = 144 + 81
225 = 225
Existe uma infinidade de trios pitagóricos. Segue abaixo alguns:
- 7, 24, 25
- 8, 15, 17
- 9, 40, 41
- 11, 60, 61
- 13, 84, 85
O Triângulo Retângulo na Trigonometria
A trigonometria é a parte da matemática que estuda as ligações entre os lados e ângulos do triângulo reto. Por isso, as funções trigonométricas de um triângulo retângulo são:
Seno: dado pela divisão entre os lados que formam um dos ângulos agudos.
Cosseno: dado pela divisão entre o valor do cateto adjacente e a medida da hipotenusa.
Tangente: dado pela divisão entre o seno e o cosseno de um dado ângulo ou entre os catetos.
Cotangente: também é dado pela divisão entre os catetos.
Secante: dado pela divisão entre os lados que formam o ângulo.
Cossecante: assim como na secante, também é dado pela divisão entre os lados que formam um dos ângulos agudos.
Curiosidades
O Teorema de Pitágoras falha em um quesito: quando o valor dos catetos do triângulo retângulo são iguais, não há um valor racional para a hipotenusa. A solução para esse dilema somente ocorreu 25 séculos depois, através do alemão Julius Richard Dedekind. Foi a partir dele que os números irracionais começaram a ser estudados pela matemática. O primeiro irracional descoberto foi a √2, que surgiu no cálculo da hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos iguais a 1.- Foi usando o Teorema de Pitágoras que o matemático Arquimedes de Siracusa quase conseguiu encontrar o valor do número pi.
- Tabletes de barro do século XIX a.C provam que os antigos povos da Babilônia já sabiam do teorema muito antes de Pitágoras.
- Hipotenusa era o nome das cordas de um instrumento musical conhecido como lira, intensamente utilizado no período da antiguidade. Essas cordas formavam triângulos retângulos com os lados do utensílio.
- Autor do livro “Tratados sobre Triângulos”, o matemático Regiomontanus foi considerado um dos maiores mestres do século XV. Foi ele quem conseguiu separar os estudas de trigonometria da astronomia.